Determine se a série é convergente ou divergente.

a)

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte série S converge ou diverge:

S = ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom, uma forma é aplicarmos o Teste da Integral, que é definido da seguinte forma:

“Se existe um N ≥ k tal que para todo n ≥ N , f n = a n é positiva, contínua e decrescente. Então ∑ n = k ∞ a n e ∫ k ∞ f x d x podem ser convergentes ou divergentes ”

Agora vamos aplicar esse Teste!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Primeiramente vemos que e 1 / n n 2 é positiva, contínua e decrescente para n ≥ 1 .

Assim, aplicando o Teste da Integral, temos:

∫ 1 ∞ e 1 / n n 2 d n

Fazend u = 1 n ∴ d u = - 1 n 2 , temos:

- ∫ 1 ∞ e u d u ∴

= - e u ∴

= - e 1 n ∞ 1 ∴

= e 1 1 - e 1 ∞ ∴

= e - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série coverge para

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2 = e - 1

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