(Capítulo 11.3 – Exercício 24) Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 3 ∞ n 2 e n

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

∑ n = 3 ∞ n 2 e n

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Para essa série, é uma mão na roda usar o teste da integral pra verificar se converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Passo 2

Então, temos a série

∑ n = 3 ∞ n 2 e n

Chamando f x = x 2 e x , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 3 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = x ( 2 - x ) e x

O nosso denominador é sempre positivo, e o numerador é sempre negativo (porque o x é sempre maior que 3, no nosso intervalo), então a divisão como um todo é sempre negativa no intervalo em questão

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 3 ∞ f x d x = ∫ 3 ∞ x 2 e x d x

𝑃ara resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com u = x 2 e d v = e - x d x :

∫ x 2 ⏟ u e - x d x ⏟ d v = x 2 ⏟ u ∙ - e - x ⏟ v - ∫ - e - x ⏟ v 2 x d x ⏟ d u = x 2 ∙ - e - x + 2 ∫ x e - x d x ⏟ I n t e g r a ç ã o   p o r   p a r t e s

∫ x 2 e - x d x = x 2 ∙ - e - x + 2 ∫ x e - x d x = x 2 ∙ - e - x + 2 x - e - x - ∫ e - x d x

∫ x 2 e - x d x = - e - x ∙ x 2 + 2 x + 2

Retornando à nossa integral imprória, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t x 2 e x d x = lim t → ∞ ⁡ - e - x ∙ x 2 + 2 x + 2 1 t = lim t → ∞ ⁡ - e - t ∙ t 2 + 2 t + 2 + 17 e 3 = 17 e 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 2 e n   é convergente

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