Usando o teste da integral, a série

∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1

Converge?

Sim ou não?

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui

∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1

E perguntou, usando o teste da integral, se essa série converge.

Bom, o teste da integral nos diz o seguinte:

Ou seja, precisamos associar uma função f ( x ) com nosso termo geral (que nesse caso é k k 2 + 1 , ok?) e garantir que essa função é decrescente no intervalo que a gente precisa

Obs: uma série é uma soma de termos, começando com n = 1 . Então o intervalo de interesse é com x = 1 até . No somatório, o problema usa k ao invés de n , mas é a mesma coisa ok?

Garantido que a função é decrescente, partimos para o teste propriamente dito: vamos integrar a função de 1 até (alou integração imprópria!), se essa integral convergir (ou seja, se o resultado for 0 ou um número) então a série também converge; já se o resultado for , então podemos afirmar que a série diverge.

Mais um detalhe antes de começarmos a calcular: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa no intervalo de interesse! Então para garantir que a função é mesmo decrescente, a gente precisa derivar e aplicar no primeiro ponto do intervalo, ou seja, x = 1 , e ver se dali em diante ela é negativa, beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Bora começar?

Passo 2

Primeiro vamos associar uma função ao nosso termo geral.

f k = a k

a k = f k = k k 2 + 1

E agora passar k → x :

f x = x x 2 + 1

Beleza?

Essa função precisa ser decrescente no intervalo de [ 1 ; ∞ ) , então o próximo passo é derivar e avaliar em x = 1 !

Sua derivada é

f ' x = x 2 + 1 - 2 x . x x 2 + 1 2

f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

E em x = 1 essa derivada é:

f ' 1 = 0 4 = 0

Em x = 1 a derivada é nula, mas para x > 1 ela é negativa, pois - x 2 + 1 < 0 para x > 1 . Então tudo bem, podemos fazer o teste da integral pegando o primeiro valor de k inteiro que essa função é decrescente. Aqui vamos fazer a partir de k = 2 para garantir.

A derivada em x = 2 :

f ' 2 = - 2 2 + 1 2 2 + 1 2 = - 3 25 < 0

Então ta beleza! Começamos em x = 2 ! Pois a partir daí nossa função é sempre decrescente! O importante é que depois desse ponto, ela seja sempre decrescente, e é isso exatamente que acontece aqui!

Agora vamos partir para a integral!

Passo 3

Agora vamos calcular a integral dessa função de 2 até :

∫ 2 ∞ x x 2 + 1 d x

É uma integral imprópria, e o truque sujo é o seguinte: chama aquele de uma letra qualquer, por exemplo “b”, e põe por fora dessa integral um limite de b → ∞ . Isso vai fazer com que você consiga calcular a integral sossegado e depois avaliar o limite no infinito, beleza?

aplicando esse truquezinho temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x

Vamos resolver essa integral separadamente!

Passo 4

A integral dentro do limite é:

∫ 2 b x x 2 + 1 d x

Como temos x 2 e x , vou usar a integração por substituição simples. Chamando u = x 2 + 1 , a derivada de u em relação a x é:

d u = 2 x   d x

Mas temos x   d x , então vou substituir x   d x = d u 2 na integral:

∫ 1 u . d u 2 = 1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

E agora aplicando os limites

∫ 2 b x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( b 2 + 1 ) - 1 2 ln ⁡ 5

Beleza até aqui?

Vamos voltar ao nosso limite?

Passo 5

Queríamos avaliar esse limite aqui:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x

E resolvemos separadamente a integral, pegando o resultado que achamos no passo anterior e substituindo ali dentro do limite temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x = lim b → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ ( b 2 + 1 ) - 1 2 ln ⁡ 5

Acontece que a função logarítmica explode quando vai para infinito, ela é lenta, mas explode!

Sendo assim

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b x x 2 + 1 d x = ∞

Então, se

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞

Então a série

∑ k = 1 ∞ a k = d i v e r g e

Sendo assim, essa série NÃO converge, ela diverge! E a resposta correta é NÃO.

Até a próxima!

Resposta

n ã o

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