UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 15
Usando o teste da integral, a série
Converge?
Sim ou não?
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E perguntou, usando o teste da integral, se essa série converge.
Bom, o teste da integral nos diz o seguinte:
Ou seja, precisamos associar uma função com nosso termo geral (que nesse caso é , ok?) e garantir que essa função é decrescente no intervalo que a gente precisa
Obs: uma série é uma soma de termos, começando com . Então o intervalo de interesse é com até . No somatório, o problema usa ao invés de , mas é a mesma coisa ok?
Garantido que a função é decrescente, partimos para o teste propriamente dito: vamos integrar a função de até (alou integração imprópria!), se essa integral convergir (ou seja, se o resultado for 0 ou um número) então a série também converge; já se o resultado for , então podemos afirmar que a série diverge.
Mais um detalhe antes de começarmos a calcular: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa no intervalo de interesse! Então para garantir que a função é mesmo decrescente, a gente precisa derivar e aplicar no primeiro ponto do intervalo, ou seja, , e ver se dali em diante ela é negativa, beleza?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Bora começar?
Passo 2
Primeiro vamos associar uma função ao nosso termo geral.
E agora passar :
Beleza?
Essa função precisa ser decrescente no intervalo de , então o próximo passo é derivar e avaliar em !
Sua derivada é
E em essa derivada é:
Em a derivada é nula, mas para ela é negativa, pois para . Então tudo bem, podemos fazer o teste da integral pegando o primeiro valor de inteiro que essa função é decrescente. Aqui vamos fazer a partir de para garantir.
A derivada em :
Então ta beleza! Começamos em ! Pois a partir daí nossa função é sempre decrescente! O importante é que depois desse ponto, ela seja sempre decrescente, e é isso exatamente que acontece aqui!
Agora vamos partir para a integral!
Passo 3
Agora vamos calcular a integral dessa função de até :
É uma integral imprópria, e o truque sujo é o seguinte: chama aquele de uma letra qualquer, por exemplo “b”, e põe por fora dessa integral um limite de . Isso vai fazer com que você consiga calcular a integral sossegado e depois avaliar o limite no infinito, beleza?
aplicando esse truquezinho temos o seguinte:
Vamos resolver essa integral separadamente!
Passo 4
A integral dentro do limite é:
Como temos e , vou usar a integração por substituição simples. Chamando , a derivada de em relação a é:
Mas temos , então vou substituir na integral:
E agora aplicando os limites
Beleza até aqui?
Vamos voltar ao nosso limite?
Passo 5
Queríamos avaliar esse limite aqui:
E resolvemos separadamente a integral, pegando o resultado que achamos no passo anterior e substituindo ali dentro do limite temos o seguinte:
Acontece que a função logarítmica explode quando vai para infinito, ela é lenta, mas explode!
Sendo assim
Então, se
Então a série
Sendo assim, essa série NÃO converge, ela diverge! E a resposta correta é NÃO.
Até a próxima!