PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 1
Utilizar o teste da integral para mostrar que a série
é convergente.
. Considere a seguinte afirmação:
“No teste da integral, quando a série é convergente, o valor da integral é igual ao valor da série”.
A afirmação é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, prove-a rigorosamente. Se for falsa, exiba um contraexemplo detalhado.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Temos que usar o teste da integral e provar que a série é convergente. O teste da integral diz o seguinte:
Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente.
De forma mais clara é o seguinte:
Se for convergente, a série também é e se a integral divergi a série também diverge.
Vamos as contas então!
Passo 2
Temos que calcular a seguinte integral:
Para resolver essa integral vão usar o método de substituição. Chamando:
Os limites de integração ficam da seguinte forma:
Passo 3
Assim temos que:
Então temos que:
Como a integral converge a série também converge.
Passo 4
Agora temos que ver se a afirmação que o enunciado deu no item é verdadeira ou falsa.
Para fazermos esse teste, vamos usar a seguinte série onde já conhecemos o resultado.
Agora vamos fazer a integral do termo e ver o que encontramos, temos:
Então temos que:
Os resultados são diferentes, então aquela afirmação é falsa.
Resposta
A série converge.
Falsa.