Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n   n

Passo 1

Primeiramente vamos escrever uma desigualdade pra nos ajudar a decidir sobre a convergência:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n   n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n   n

E essa desigualdade é verdadeira, pois cos ⁡ n ≤ 1 , para todo n .

Passo 2

Repare que posso escrever:

∑ n = 1 ∞ 1 n   n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 2

Que é uma p-série com p = 3 / 2 . Portanto, converge.

E se a nossa série é tal que:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n   n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 2

Pelo Teste da Comparação podemos dizer que ela converge absolutamente e portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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