UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 19
O teste da integral pode ser usado para concluir se a série converge ou diverge.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E afirmou que com o teste da integral podemos dizer algo sobre essa série (se ela é convergente ou divergente)
Bom, o teste da integral nos diz o seguinte:
Ou seja, precisamos associar uma função com nosso termo geral (que nesse caso é , ok?) e garantir que essa função é decrescente no intervalo que a gente precisa
Obs: uma série é uma soma de termos, começando com . Então o intervalo de interesse é com até .
Garantido que a função é decrescente, partimos para o teste propriamente dito: vamos integrar a função de até (alou integração imprópria!), se essa integral convergir (ou seja, se o resultado for 0 ou um número) então a série também converge; já se o resultado for , então podemos afirmar que a série diverge.
Mais um detalhe antes de começarmos a calcular: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa no intervalo de interesse! Então para garantir que a função é mesmo decrescente, a gente precisa derivar e aplicar no primeiro ponto do intervalo, ou seja, , e ver se dali em diante ela é negativa, beleza?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Bora começar?
Passo 2
Primeiro vamos associar uma função ao nosso termo geral.
E agora passar :
Beleza?
Essa função precisa ser decrescente no intervalo de , então o próximo passo é derivar e avaliar em :
E em essa derivada é:
Assim, não podemos utilizar esse teste! Pois a derivada nesse intervalo é positiva!
Para qualquer valor de , a função é crescente, ou seja, sua derivada
Assume sempre valores positivos!
Sendo assim, esse teste é inconclusivo! Não podemos utilizar!
Passo 3
Sendo assim, não podemos afirmar nada com o teste da integral para essa série!
E a afirmativa é FALSA
Beleza?
Espero ter ajudado!
Até a próxima!