O teste da integral pode ser usado para concluir se a série ∑ n = 1 ∞ n e n converge ou diverge.

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n e n

E afirmou que com o teste da integral podemos dizer algo sobre essa série (se ela é convergente ou divergente)

Bom, o teste da integral nos diz o seguinte:

Ou seja, precisamos associar uma função f ( x ) com nosso termo geral (que nesse caso é n e n , ok?) e garantir que essa função é decrescente no intervalo que a gente precisa

Obs: uma série é uma soma de termos, começando com n = 1 . Então o intervalo de interesse é com x = 1 até .

Garantido que a função é decrescente, partimos para o teste propriamente dito: vamos integrar a função de 1 até (alou integração imprópria!), se essa integral convergir (ou seja, se o resultado for 0 ou um número) então a série também converge; já se o resultado for , então podemos afirmar que a série diverge.

Mais um detalhe antes de começarmos a calcular: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa no intervalo de interesse! Então para garantir que a função é mesmo decrescente, a gente precisa derivar e aplicar no primeiro ponto do intervalo, ou seja, x = 1 , e ver se dali em diante ela é negativa, beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Bora começar?

Passo 2

Primeiro vamos associar uma função ao nosso termo geral.

f n = a n

a n = f n = n e n

E agora passar k → x :

f x = x e x

Beleza?

Essa função precisa ser decrescente no intervalo de [ 1 ; ∞ ) , então o próximo passo é derivar e avaliar em x = 1 :

f ' x = e x + x e x

E em x = 1 essa derivada é:

f ' 1 = e + e = 2 e > 0

Assim, não podemos utilizar esse teste! Pois a derivada nesse intervalo é positiva!

Para qualquer valor de x ≥ 1 , a função f ( x ) é crescente, ou seja, sua derivada

f ' x = e x + x e x

Assume sempre valores positivos!

Sendo assim, esse teste é inconclusivo! Não podemos utilizar!

Passo 3

Sendo assim, não podemos afirmar nada com o teste da integral para essa série!

E a afirmativa é FALSA

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

F a l s o

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