USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 4
Sejam e sequências de reais e considere as seguintes afirmações:
São convergentes:
a) (I) e (IV).
b) (I) e (II).
c) (II) e (III).
d) (II) e (IV).
e) (III) e (IV).
Passo 1
Fala galera, prontos para mais uma questão de séries?
O problema forneceu quatro séries e quer saber quais convergem e quais não. Vamos começar pela primeira:
Para estudar essa série, vamos usar o teste da integral:
Como essa é uma integral imprópria:
Fazendo a integral:
Portanto,
Como a integral diverge, a série também é divergente!
Passo 2
Vamos considerar agora a série
Vamos usar o teste da integral:
Para isso, temos que achar a primitiva:
Para esse segundo termo usamos integração por partes:
Tomando e , temos que e :
Para o segundo termo, aplicamos partes novamente, com e , de modo que e :
Passando a integral para outro lado:
Portanto,
Logo,
Com isso,
A integral vai convergir pois e
Esse último limite é zero pois se trata do produto de uma função que tende a zero por outra limitada!
Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também é convergente!
Passo 3
Vamos olhar agora para
Essa é uma série alternada do tipo
com
Mas note que
Como esse limite não é zero, pelo teste da divergência já podemos afirmar que essa série diverge, já que o termo geral não tende a zero quando .
Passo 4
Vamos olhar agora para a última série:
Vamosa usar o teste da integral:
Para isso, vamos procurar a primitiva fazendo e :
Assim,
Como a integral converge, pelo teste da integral, a série converge também!
Com isso, somos levados à alternativa D: as séries (II) e (IV) convergem 😊
Resposta
Alternativa D.