Sejam a n n ∈ N e b n n ∈ N sequências de reais e considere as seguintes afirmações:

I   ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

I I   ∑ n = 1 ∞ 3 + cos ⁡ n e n

I I I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n

I V   ∑ n = 2 ∞ 1 n   ln ⁡ n 2

São convergentes:

a) (I) e (IV).

b) (I) e (II).

c) (II) e (III).

d) (II) e (IV).

e) (III) e (IV).

Passo 1

Fala galera, prontos para mais uma questão de séries?

O problema forneceu quatro séries e quer saber quais convergem e quais não. Vamos começar pela primeira:

I   ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

Para estudar essa série, vamos usar o teste da integral:

I = ∫ 1 ∞ x + 1 x x   d x = ∫ 1 ∞ x + 1 x 3 / 2   d x = ∫ 1 ∞ 1 x 1 2 - 1 x 3 2   d x

Como essa é uma integral imprópria:

I = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x - 1 2 - x - 3 2   d x

Fazendo a integral:

∫ 1 t x - 1 2 - x - 3 2   d x = 2 x 1 2 + 2 x - 1 2 1 t = 2 t + 2 t - 2 - 2 = 2 t + 1 t - 2

Portanto,

I = lim t → ∞ ⁡ 2 t + 1 t - 2 = + ∞

Como a integral diverge, a série também é divergente!

Passo 2

Vamos considerar agora a série

I I   ∑ n = 1 ∞ 3 + cos ⁡ n e n

Vamos usar o teste da integral:

I = ∫ 1 ∞ 3 + cos ⁡ x e x   d x

Para isso, temos que achar a primitiva:

∫ 3 + cos ⁡ x e x   d x = ∫ 3 e - x + e - x cos ⁡ x   d x = - 3 e - x + ∫ e - x cos ⁡ x   d x

Para esse segundo termo usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Tomando u = e - x e d v = cos ⁡ x   d x , temos que d u = - e - x d x e v = s e n   x :

∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x   s e n   x + ∫ e - x   s e n   x   d x

Para o segundo termo, aplicamos partes novamente, com u = e - x e d v = s e n   x   d x , de modo que d u = - e - x   d x e v = - cos ⁡ x :

∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x   s e n   x - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x cos ⁡ x   d x

Passando a integral para outro lado:

2   ∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x   s e n   x - cos ⁡ x

Portanto,

∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x 2   s e n   x - cos ⁡ x

Logo,

∫ 3 + cos ⁡ x e x   d x = - 3 e - x + e - x 2   s e n   x - cos ⁡ x

Com isso,

I = ∫ 1 ∞ 3 + cos ⁡ x e x   d x = lim t → ∞ ⁡ - 3 e - x + e - x 2   s e n   x - cos ⁡ x 1 t

A integral vai convergir pois lim t → ∞ ⁡ e - t = 0 e

lim t → ∞ ⁡ e - t s e n   t - cos ⁡ t = 0

Esse último limite é zero pois se trata do produto de uma função que tende a zero por outra limitada!

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também é convergente!

Passo 3

Vamos olhar agora para

I I I   ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n

Essa é uma série alternada do tipo

∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

com

b n = cos ⁡ 1 n

Mas note que

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n = cos ⁡ 0 = 1 ≠ 0

Como esse limite não é zero, pelo teste da divergência já podemos afirmar que essa série diverge, já que o termo geral não tende a zero quando n → ∞ .

Passo 4

Vamos olhar agora para a última série:

I V   ∑ n = 2 ∞ 1 n   ln ⁡ n 2

Vamosa usar o teste da integral:

I = ∫ 2 ∞ 1 x   ln ⁡ x 2   d x

Para isso, vamos procurar a primitiva fazendo u = ln ⁡ x e d u = 1 x   d x :

∫ 1 x   ln ⁡ x 2   d x = ∫ 1 u 2 d u = - 1 u = - 1 ln ⁡ x

Assim,

I = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ x 2 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t + 1 ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série converge também!

Com isso, somos levados à alternativa D: as séries (II) e (IV) convergem 😊

Resposta

Alternativa D.

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