(Capítulo 11.3 – Exercício 13) Determine se a série é convergente ou divergente.

1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + …

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício da uma série pra gente:

1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + …

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Então para resolvermos esse exercício, vamos começar encontrando o termo geral e como essa série se comporta, pra aí aplicarmos algum teste e ver se ela converge ou diverge

Boraaa!

Passo 2

Show de bola, galera...Estamos diante de uma série em que os termos do denominador serão sempre números ímpares, a começar pelo número 1 . Basicamente temos:

1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + … = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1

Opaaa, já temos a nossa série prontinha, mas agora queremos saber se ela converge ou diverge

Uma boa sacada aqui é usar o teste da integral

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Beleza....Partiu usar o Teste da Integral?

Passo 3

Temos a série:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1

Chamando f x = 1 2 x + 1 , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 0 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - 2 ( 2 x + 1 ) ²

O nosso denominador é sempre positivo, então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 4

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 0 ∞ f x d x = ∫ 0 ∞ 1 2 x + 1 d x

Calculando essa integral imprópria:

∫ 0 ∞ f x d x = ∫ 0 ∞ 1   d x 2 x + 1

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t d x 2 x + 1

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 2 0 t

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 t + 1 2 = ∞

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + …  é divergente

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