Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 3 – Exercício 13
(Capítulo 11.3 – Exercício 13) Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Faaala galera, vamos lá!
Esse exercício da uma série pra gente:
E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?
Então para resolvermos esse exercício, vamos começar encontrando o termo geral e como essa série se comporta, pra aí aplicarmos algum teste e ver se ela converge ou diverge
Boraaa!
Passo 2
Show de bola, galera...Estamos diante de uma série em que os termos do denominador serão sempre números ímpares, a começar pelo número . Basicamente temos:
Opaaa, já temos a nossa série prontinha, mas agora queremos saber se ela converge ou diverge
Uma boa sacada aqui é usar o teste da integral
Só pra lembrar como é feito esse teste:
- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função (isso significa apenas substituir por )
- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee
- Vamos calcular a integral da função no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?
Beleza....Partiu usar o Teste da Integral?
Passo 3
Temos a série:
Chamando , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:
O nosso denominador é sempre positivo, então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)
Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?
Podemos seguir com o teste da integral :P
Passo 4
Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Calculando essa integral imprópria:
Opa! A nossa integral imprória divergiu!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!