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Exercícios Resolvidos de Teste da integral

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Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

Passo 1

Temos:

a n = ln ⁡ n n 3

Logo, podemos definir

f x = ln ⁡ x x 3

Assim, temos f n = a n .

Passo 2

Vamos calcular a derivada para garantir que essa função é decrescente

f ' x = x 2 - 3 x 2 ln ⁡ x x 6 = 1 - 3 ln ⁡ x x 4

Como o denominador está elevado a potência par, ele é sempre positivo. Basta, então, analisar o numerador.

Se x > e 1 3 , a função será decrescente, pois o numerador será menor que zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito.

∫ e 1 3 b ln ⁡ x x 3 d x =

Como não conseguimos identificar uma substituição direta, vamos usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Definindo

d x x 3 = d v   →   - 1 2 x 2 = v

ln ⁡ x = u → 1 x d x = d u

∫ ln ⁡ x x 3 d x = - ln ⁡ x 2 x 2 - ∫ - 1 2 x 2 ⋅ 1 x d x =

= - ln ⁡ x 2 x 2 + ∫ 1 2 x 3   d x =

= - ln ⁡ x 2 x 2 - 1 4 x 2 = - 2 ln ⁡ ( x ) + 1 4 x 2

∫ e 1 / 3 b ln ⁡ x x 3 d x = - 2 ln ⁡ ( x ) + 1 4 x 2 e 1 / 3 b = - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 2 ln ⁡ e 1 / 3 + 1 4 e 1 / 3 2 =

= - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 5 12 e 2 3

Passo 4

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

∫ e 1 3 ∞ ln ⁡ x x 3 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ e 1 3 b ln ⁡ x x 3 d x

= lim b → ∞ ⁡ - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 5 12 e 2 3 = lim b → ∞ ⁡ - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 5 12 e 2 3

Como tanto o numerador quanto o denominador da razão tendem a infinito, podemos aplicar a regra de L’Hospital aqui, derivando ambos os termos:

= lim b → ∞ ⁡ - 2 b 8 b + 5 12 e 2 3 =

= lim b → ∞ ⁡ - 1 4 b 2 + 5 12 e 2 3 = 5 12 e 2 3

Note que lim b → ∞ ⁡ 1 / 4 b 2 = 0 .

Como a integral converge, pelo Teste da integral, a série do problema converge.

Resposta

A série converge.

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