UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1c
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão está no início de uma longa lista, vamos resolver esse terceiro item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de exponenciais
E se for puxar pela memória já calculou a integral de alguma coisa muito parecida! Quando for assim, a primeira coisa que você precisa lembrar é do teste da integral!
Mas o que nos diz esse teste?
O teste da integral avalia o comportamento no infinito da área compreendida entre a função associada com o termo geral e o eixo , desde o primeiro termo da série até
No nosso caso e pode ser encontrada trocando por no termo geral
Aqui podemos ter dois cenários (e duas conclusões diferentes):
- Se for convergente (o resultado ser um número): série é convergente
- Se for divergente: então a série é divergente
Mas lembrem-se: para funcionar, a função precisa ser decrescente! No nosso caso ela é, o denominador é maior do que o numerador
Então a ideia é calcular esse e torcer para que não dê a segunda conclusão!
Dica: se a função for decrescente, com certeza a integral vai convergir e a série será convergente!
Bora começar?
Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos usar o teste da integral
Então antes de mais nada, precisamos trocar essa integral imprópria, por limites apropriados
Beleza?
Então agora nossa missão é: calcular essa integral, aplicar nos limites e depois avaliar o limite do resultado quando
Tudo bem até aqui?
bora lá?
Passo 3
Precisamos resolver essa integral aqui
#ALERTATRUQUESUJO
Vamos resolver por substituição! Isso porque temos duas exponenciais, e sabemos que a derivada da função exponencial é ela mesma!
Então
Quando , e quando ,
Substituindo na integral temos o seguinte
E podemos usar a tabela de integrais! essa integral é a do arco tangente!
Tranquilo até aqui?
Estamos quase lá!
Passo 4
Agora que calculamos a integral e aplicamos os limites, vamos avaliar esse resultado no limite quando
Opa! Encontramos um resultado finito para a integral! Isso significa que nossa série (que está associada com a integral) dará um valor finito também!
Portanto a série
É convergente!
E é isso! Espero ter ajudado!