(Capítulo 11.3 – Exercício 5) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3

Passo 1

E aee colega, tudo certinho? Vamos lá pra mais uma questão de séries

Nesse caso aqui, queremos usar o teste da integral pra determinar se uma série converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Então boraaa lá

Passo 2

Temos a série

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3

Chamando f x = 1 ( 2 x + 1 ) ³ , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 1 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - 6 2 x + 1 4

O nosso denominador é sempre positivo, então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 ( 2 x + 1 ) ³ d x

Quando temos uma integral imprópria, envolvendo o infinito, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 ( 2 x + 1 ) ³ d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 4

Show de bola! Agora vamos calcular a integral:

∫ 1 ∞ 1 2 x + 1 3 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 2 x + 1 3 d x

lim t → ∞ ⁡ 2 x + 1 - 2 - 2 ∙ 1 2 1 t

lim t → ∞ ⁡ 2 x + 1 - 2 - 2 ∙ 1 2 1 t

lim t → ∞ ⁡ - 1 4 ∙ 2 x + 1 2 + 1 4 ∙ 9 = 1 36

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3  é convergente

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