USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 2
Seja um número real positivo. Considere as seguintes séries:
Podemos afirmar que:
a) A série (A) é convergente se, e somente se, e a série (B) é convergente se, e somente se, .
b) A série (A) é convergente se, e somente se, e a série (B) é convergente se, e somente se, .
c) A série (A) é convergente se, e somente se, e a série (B) é convergente se, e somente se, .
d) A série (A) é convergente se, e somente se, e a série (B) é convergente se, e somente se, .
e) A série (A) é convergente se, e somente se, e a série (B) é convergente se, e somente se, .
Passo 1
Fala galera, prontos para mais uma questão de cálculo 4 da POLI? Nesse problema temos que achar para quais valores de cada uma das séries convergem!
Vamos olhar primeiro para a série (A):
Essa é a chamada p-série. Se você já decorou o resultado, sabe que para a série é convergente e para ela é divergente. Uma forma de verificar isso é pelo teste da integral, em que consideramos a integral imprópria:
Para , temos
Assim, para a integral diverge, de modo que a série também diverge! Para , temos que
Se , temos que
Já para :
Com isso, vemos que a integral só converge se . Assim, a série (A) só vai convergir se .
Eu sei que esse é um resultado que você já deve conhecer quando for fazer a prova, mas quis relembrar de onde ele vem porque é sempre bom fazer isso 😊
A resposta pode estar nas alternativas B, D ou E...
Passo 2
Agora vamos olhar para a série (B):
O termo geral dessa sequência é
Note que se , quando . Nesse caso, o limite não existe. Já para , temos que
Nesse caso,
Vemos que não tende a zero quando . Portanto, nesses casos () já sabemos que a série diverge pois seu termo geral não tende a quando . Para , quando . Nesse caso, a série pode ou não ser convergente, temos que procurar outro método para verificar!
Passo 3
Antes de pensarmos numa forma de estudar a convergência para , vamos brincar um pouco. Sabemos que para suficiente grande:
Assim,
Portanto,
Portanto,
Sabemos que a série da direita converge para
Pelo teste da comparação, como a série da esquerda é menor que a a da direita, se a da direita converge, a da esquerda converge também! Assim, vemos que a série (B) será convergente se
Com isso, somos levados para a alternativa E!
Note que toda brincadeira começou com a relação
para suficientemente grande. Para visualizar melhro essa relação, note que para , continua crescendo, mas fica preso entre e . Nunca esqueça dessa relação, ela ajuda muito em vários problemas!
Resposta
Alternativa E.