Seja p um número real positivo. Considere as seguintes séries:

A ∑ n = 1 ∞ 1 n p

B   ∑ n = 1 ∞ s e n   1 n p 2

Podemos afirmar que:

a) A série (A) é convergente se, e somente se, p ≤ 1 e a série (B) é convergente se, e somente se, p ≤ 1 .

b) A série (A) é convergente se, e somente se, p > 1 e a série (B) é convergente se, e somente se, p > 1 .

c) A série (A) é convergente se, e somente se, p ≤ 1 e a série (B) é convergente se, e somente se, p > 1 2 .

d) A série (A) é convergente se, e somente se, p > 1 e a série (B) é convergente se, e somente se, p > 2 .

e) A série (A) é convergente se, e somente se, p > 1 e a série (B) é convergente se, e somente se, p > 1 2 .

Passo 1

Fala galera, prontos para mais uma questão de cálculo 4 da POLI? Nesse problema temos que achar para quais valores de p cada uma das séries convergem!

Vamos olhar primeiro para a série (A):

A   ∑ n = 1 ∞ 1 n p

Essa é a chamada p-série. Se você já decorou o resultado, sabe que para p > 1 a série é convergente e para p ≤ 1 ela é divergente. Uma forma de verificar isso é pelo teste da integral, em que consideramos a integral imprópria:

I = ∫ 1 ∞ 1 x p   d x

Para p = 1 , temos

I = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x   d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ 1 = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t = ∞

Assim, para p = 1 a integral diverge, de modo que a série também diverge! Para p ≠ 1 , temos que

I = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x p   d x = lim t → ∞ ⁡ x - p + 1 - p + 1 1 t = 1 1 - p lim t → ∞ ⁡ t 1 - p - 1

Se p > 1 , temos que

lim t → ∞ ⁡ t 1 - p - 1 = 0 - 1 = - 1

Já para p < 1 :

lim t → ∞ ⁡ t 1 - p - 1 = ∞

Com isso, vemos que a integral só converge se p > 1 . Assim, a série (A) só vai convergir se p > 1 .

Eu sei que esse é um resultado que você já deve conhecer quando for fazer a prova, mas quis relembrar de onde ele vem porque é sempre bom fazer isso 😊

A resposta pode estar nas alternativas B, D ou E...

Passo 2

Agora vamos olhar para a série (B):

B   ∑ n = 1 ∞ s e n   1 n p 2

O termo geral dessa sequência é

a n = s e n   1 n p 2

Note que se p < 0 , 1 n p → ∞ quando n → ∞ . Nesse caso, o limite lim n → ∞ ⁡ a n não existe. Já para p = 0 , temos que

1 n p = 1

Nesse caso,

a n = s e n   1 2

Vemos que a n não tende a zero quando n → ∞ . Portanto, nesses casos ( p ≤ 0 ) já sabemos que a série diverge pois seu termo geral não tende a 0 quando n → ∞ . Para p > 0 , a n → 0 quando n → ∞ . Nesse caso, a série pode ou não ser convergente, temos que procurar outro método para verificar!

Passo 3

Antes de pensarmos numa forma de estudar a convergência para p > 0 , vamos brincar um pouco. Sabemos que para x > 0 suficiente grande:

s e n   x ≤ x

Assim,

s e n   x 2 ≤ x 2

Portanto,

s e n   1 n p 2 ≤ 1 n p 2 = 1 n 2 p

Portanto,

∑ n = 1 ∞ s e n   1 n p 2 ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 p

Sabemos que a série da direita converge para

2 p > 1 ⇒ p > 1 2

Pelo teste da comparação, como a série da esquerda é menor que a a da direita, se a da direita converge, a da esquerda converge também! Assim, vemos que a série (B) será convergente se

p > 1 2

Com isso, somos levados para a alternativa E!

Note que toda brincadeira começou com a relação

s e n   x < x

para x suficientemente grande. Para visualizar melhro essa relação, note que para x > 2 π , x continua crescendo, mas s e n   x fica preso entre - 1 e 1 . Nunca esqueça dessa relação, ela ajuda muito em vários problemas!

Resposta

Alternativa E.

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