Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Passo 1

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n → ∞ , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln ⁡ n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x ln ⁡ x 2

Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada

f ' x = 0 - ln ⁡ x 2 + x 2 ln ⁡ x 2 - 1 1 x x ln ⁡ x 2 2 = - ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x 2 - 1 x 2 ln ⁡ x

Repara que

ln ⁡ x > 0 ⟷ x > 1

Como a nossa série começa em x = 2 vamos ter esse logaritmo sendo positivo, assim no numerador temos a soma de coisas positivas, que é positivo, e no denominador temos o produto de coisas positivas, que é positivo. Assim, vamos ter a divisão de caras positivos vezes aquele menos maroto deixando a derivada sendo negativa no nosso intervalo.

Podemos aplicar o teste da integral

Agora devemos olhar a convergência da integral

∫ 2 ∞ f x d x = ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

Passo 2

Vamos para essa integral

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x 2 d x

Temos que resolver

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Vamos fazer

ln ⁡ x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

∫ 1 x ln ⁡ x 2 d x = ∫ 1 u 2 d u = ∫ u - 2 d u = u 1 - 2 1 - 2

Voltando para x temos

u 1 - 2 1 - 2 = ln ⁡ x 1 - 2 1 - 2

Passo 3

Voltando para o nosso limite temos

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 - 2 1 - 2 2 a = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a 1 - 2 1 - 2 - ln ⁡ 2 1 - 2 1 - 2

Repara que

1 - 2 < 0

Então

∞ 1 - 2 = 0

O nosso limite lá de cima vai ser

lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a 1 - 2 1 - 2 - ln ⁡ 2 1 - 2 1 - 2 = ∞ 1 - 2 1 - 2 - 2 1 - 2 1 - 2 = - 2 1 - 2 1 - 2

E essa integral converge a série converge

Resposta

Converge

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