Teste da Integral
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Se olharmos bem esse termo da série vai para quando , então o teste da divergência não vai ajudar.
Repara que temos e no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.
Para o teste da integral temos que fazer
Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada
Repara que
Como a nossa série começa em vamos ter esse logaritmo sendo positivo, assim no numerador temos a soma de coisas positivas, que é positivo, e no denominador temos o produto de coisas positivas, que é positivo. Assim, vamos ter a divisão de caras positivos vezes aquele menos maroto deixando a derivada sendo negativa no nosso intervalo.
Podemos aplicar o teste da integral
Agora devemos olhar a convergência da integral
Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.
Passo 2
Vamos para essa integral
Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter
Temos que resolver
Vamos fazer
E a integral vai ficar
Voltando para temos
Passo 3
Voltando para o nosso limite temos
Repara que
Então
O nosso limite lá de cima vai ser
E essa integral converge a série converge
Resposta
Converge