PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 2
Utilize o teste da comparação para mostrar que a série
diverge.
Utilize o teste da comparação e o teste da integral (nesta ordem) para mostrar que a série
converge.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para fazer tudo que o enunciado pede temos que usar o teste da comparação e da integral ao nosso favor.
O teste da comparação diz que:
Se for convergente e para todo , então também será convergente.
Se for divergente e para todo , então também será convergente.
O teste da integral diz o seguinte:
Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente.
De forma mais clara é o seguinte:
Se for convergente, a série também é e se a integral divergi a série também diverge.
Vamos nessa então!
Passo 2
Vamos começar com o item .
Temos que encontrar uma série com um termo menor que o termos:
Podemos escolher o seguinte termo:
Já que:
A série
Diverge, então a série
Também diverge.
Passo 3
Agora vamos para o item .
Primeiro vamos usar o teste da comparação, para isso vamos escolher o seguinte termo:
Já que:
Isso acontece porque cresce muito mais rápido que .
Como a série
Converge, então a série
Também converge.
Passo 4
Agora vamos mostrar isso com o teste da integral.
Temos que calcular a seguinte integral:
Para resolver essa integral vamos usar a integração por partes. Vamos chamar:
Assim temos que:
Logo temos que:
Então a série converge.
Questão finalizada com sucesso!
Resposta
Demonstrado acima.
Demonstrado acima.