Usando o teste da integral, a série

∑ k = 1 ∞ k + 4 k

Converge?

Sim ou não?

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui

∑ k = 1 ∞ k + 4 k

E perguntou, usando o teste da integral, se essa série converge.

Bom, o teste da integral nos diz o seguinte:

Ou seja, precisamos associar uma função f ( x ) com nosso termo geral (que nesse caso é k + 4 k , ok?) e garantir que essa função é decrescente no intervalo que a gente precisa

Obs: uma série é uma soma de termos, começando com n = 1 . Então o intervalo de interesse é com x = 1 até . No somatório, o problema usa k ao invés de n , mas é a mesma coisa ok?

Garantido que a função é decrescente, partimos para o teste propriamente dito: vamos integrar a função de 1 até (alou integração imprópria!), se essa integral convergir (ou seja, se o resultado for 0 ou um número) então a série também converge; já se o resultado for , então podemos afirmar que a série diverge.

Mais um detalhe antes de começarmos a calcular: uma função é decrescente quando sua derivada é negativa no intervalo de interesse! Então para garantir que a função é mesmo decrescente, a gente precisa derivar e aplicar no primeiro ponto do intervalo, ou seja, x = 1 , e ver se dali em diante ela é negativa, beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Bora começar?

Passo 2

Primeiro vamos associar uma função ao nosso termo geral.

f k = a k

a k = f k = k + 4 k

E agora passar k → x :

f x = x + 4 x = x - 1 / 2 + 4 x - 1

Beleza?

Essa função precisa ser decrescente no intervalo de [ 1 ; ∞ ) , então o próximo passo é derivar e avaliar em x = 1 :

f ' x = - 1 2 x - 3 2 - 4 x - 2 = - 1 2 x 3 - 4 x 2

E em x = 1 essa derivada é:

f ' 1 = - 1 2 . 1 - 4.1 = - 9 2 < 0

Assim, podemos garantir que a derivada de f é negativa no intervalo que queremos, como x ≥ 1 , - 1 2 x 3 - 4 x 2 será sempre negativo.

Agora vamos partir para a integral!

Passo 3

Agora vamos calcular a integral dessa função de 1 até :

∫ 1 ∞ x - 1 2 + 4 x d x

É uma integral imprópria, e o truque sujo é o seguinte: chama aquele de uma letra qualquer, por exemplo “b”, e põe por fora dessa integral um limite de b → ∞ . Isso vai fazer com que você consiga calcular a integral sossegado e depois avaliar o limite no infinito, beleza?

aplicando esse truquezinho temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x - 1 2 + 4 x d x

Vamos resolver essa integral separadamente!

Passo 4

A integral dentro do limite é:

∫ 1 b x - 1 2 + 4 x d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + 4 ln ⁡ x 1 b = 2 x + 4 ln ⁡ x 1 b = 2 b + 4 ln ⁡ b - 2

Beleza até aqui?

Vamos voltar ao nosso limite?

Passo 5

Queríamos avaliar esse limite aqui:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x - 1 2 + 4 x d x

E resolvemos separadamente a integral, pegando o resultado que achamos no passo anterior e substituindo ali dentro do limite temos o seguinte:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x - 1 2 + 4 x d x = lim b → ∞ ⁡ 2 b + 4 ln ⁡ b - 2

Acontece que a função logarítmica explode quando vai para infinito, ela é lenta, mas explode! Assim como a raiz quadrada, também explode para infinito!

Sendo assim

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x - 1 2 + 4 x d x = ∞

Então, se

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∞

Então a série

∑ k = 1 ∞ a k = d i v e r g e

Sendo assim, essa série NÃO converge, ela diverge! E a resposta correta é NÃO.

Até a próxima!

Resposta

n ã o

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