Considere a série de funções trigonométricas ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x .

  1. Analise a convergência pontual e uniforme da mesma;
  2. Denotando a soma da série por g ( x ) , prove que g é contínua em [0,1];
  3. Determine o valor dos coeficientes a n na identidade ∫ 0 1 g ( x ) d x = 1 π ∑ n = 1 ∞ a n , justificando os cálculos.

Passo 1

Fala, bom! Outra magiquinha de funções que convergem uniformemente é a integração termo a termo:

g x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 sin ⁡ π 4 + n π x

Logo,

∫ 0 1 g x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 2 n 2 sin ⁡ π 4 + n π x d x =

= ∑ n = 1 ∞ - 2 n 2 ( n π ) cos  ⁡ π 4 + n π x 0 1 = ∑ n = 1 ∞ - 2 n 3 π ( cos  ⁡ π 4 + n π - cos ⁡ π 4 )   =

= ∑ n = 1 ∞ - 2 n 3 π 2 2 ( - 1 n - 1 ) = 1 π     ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( 1 - - 1 n )

Logo, segundo o que fizemos, temos:

a n = 1 - - 1 n n 3

Resposta

a n = 1 - - 1 n n 3

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