Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.
b)
Passo 1
Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:
Quando vai ao infinito o denomidor também vai, então a fração vai a
Passo 2
Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.
Veja que temos um e também nessa sequência e que é a derivada do . Poxa, então o método das integrais facilita muito.
Aí se a integral convergir a série converge, se divergir a série também diverge. Mas agora, essa implicação não é válida sempre. Só é válida em casos a sequência é decrescente. Ora e pensa comigo, se a sequência vai a no infinito
E também ele é formada por temos positivos, pois é positivo e também é, então a única forma dessa fração ir a é se ela for decrescente de fato (pensa no gráfico de ).
Logo no nosso caso a gente pode aplicar a relação de boas! Vem comigo ;D
Passo 3
Resolvendo essa integral por uma substituição simples...
Então...
Trocando novamente pelo termo em ...
Então...
Epa! A integral divergiu! Então com certeza a série...
Diverge também!
Resposta
Diverge pelo método das integrais.