Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Essa série tem cara de ser integrável, vamos ver se dá pra aplicar o critério da integral?

Não esqueça que a função TEM que ser decrescente, vamos testar isso:

f x = 1 x ln ⁡ x

f ' x = - ln ⁡ x + 1 x ln ⁡ x 2

Essa função tem um denominador positivo, o numerador vai ser maior que 0 sempre que

ln ⁡ x + 1 > 0

Então

ln ⁡ x > - 1

x > e - 1

x > 1 e

Como queremos x ≥ 2 essa derivada sempre vai ser negativa porque temos a divisão de positivos vezes um menos ali na frente.

Então podemos aplicar o teste da integral

Passo 2

A nossa integral vai ser imprópria, então

∫ 2 ∞ f x d x = ∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ ( x ) d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b 1 x ln ⁡ ( x ) d x

Vamos resolver a integral não determinada primeiro:

∫ 1 x ln ⁡ ( x ) d x = ?

Bem bem, que tal um substituição simples?

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Substituindo:

∫ 1 x ln ⁡ ( x ) d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | = ln ⁡ | ln ⁡ x |

Passo 3

Então fica:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b 1 x ln ⁡ ( x ) d x = l i m b → ∞ ln ⁡ | ln ⁡ b | - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

A integral diverge, logo a série diverge!

Resposta

A série diverge.

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