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Exercícios Resolvidos de Teste da integral

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 15

Exercício 15. Enuncie o critério da integral. Use o critério da integral para verificar a convergência da série

∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

E nosso objetivo é determinar se a série converge a partir do teste da integral.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O teste da integral consiste em calcular a integral imprópria da função f x obtida a partir de a n .

lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x

Se a integral convergir, podemos afirmar que a série também converge...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n ...

Fazendo n → x temos

a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n → f x = 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x

Como nosso somatório começa em n = 4 , então a = 4 na integral

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x

Vamos começar calculando a integral de f x

Aplicando o método de substituição, fazemos u = ln ⁡ x e consequentemente d u = 1 x d x

∫ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x d x → ∫ 1 x u ln ⁡ u x d u

∫ 1 u ln ⁡ u d u

Novamente aplicando o método da substituição fazendo v = ln ⁡ u e d v = 1 u d u

∫ 1 u ln ⁡ u d u → ∫ 1 u v u d v

∫ 1 v d v

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ 1 v d v = ln ⁡ v

Mas como v = ln ⁡ u , temos

∫ 1 u ln ⁡ u d u = ln ⁡ ln ⁡ u

E por fim, como u = ln ⁡ x ...

∫ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 4

E finalmente aplicando o limite para b → ��

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 4

Como ln ⁡ ∞ tende a ∞ , podemos observar que o termo ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ∞ tende a ∞ , ou seja

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ∞

Logo, a série ∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n diverge!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

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