Questão 1:
Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Bem, como a derivada de é , quero que você note que esse termo da série:
É integrável! Então, isso só pode significar uma coisa:
Teste da Integral
Para esse teste, basicamente a gente vai tentar calcular:
Se essa integral convergir, então a série converge, caso divirja a séria também divergirá!
Passo 2
Agora, não podemos aplicar esse teste do nada não! Temos que antes verificar se o termo da série (ou da integral) é decrescente. Se for, tudo bem, podemos aplicar o teste numa boa, entendeu?
Pois bem, perceba então que queremos ver se essa função decrescente no intervalo estudado (de ao ). Poxa, lá em cálculo de uma variável, vimos que uma forma de ver se uma função decrescente é analisar sua derivada:
Perceba que sempre é positivo no intervalo de ao infinito, entretanto, o mesmo não pode dizer desse termo aqui . Esse termo é negativo a partir deum determinado valor. Para saber que valor é esse, basta estudarmos a expressão...
Portanto, como toda a deriva é menor que no intervalo:
Logo, a função é decrescente nesse intervalo, sacou?
Passo 3
Beleza, com isso a função decrescente, podemos de fato aplicar o teste da integral para resolver a questão.
Então a calculemos fazendo uma mudança:
Trocando também os limites:
Logo:
Substituindo os limites:
Como a exponencial em um infinito negativo é , então:
Se essa integral convergiu, então a série:
É convergente!
Passo 4
Ainda não acabou, Jovem gafanhoto: será que a série é absolutamente convergente? Isso será verdade se:
Convergir. Vejamos:
Quem é ? é um termo positivo, e a exponencial nunca é negativo, então...
Como essa série converge, então ela converge absolutamente!
Resposta
Absolutamente convergente