Considere a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Escolhe uma ou mais

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 =
  2. Calcule a integral ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x =
  3. Usando os testes da integral e da comparação de limite, pode-se concluir que a série converge, diverge ou não se conclui nada?

Passo 1

Oi galera, belezinha por aí? Vamos começar?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

E pediu para acharmos o limite quando lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 , depois para calcular essa integral imprópria aqui ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x , e por fim para usar os testes da integral e da comparação e concluir sobre a convergência da série dada... mas o que tem a ver uma coisa com a outra?

Porque estamos falando de dois testes: teste da integral e teste da comparação!

Vamos começar relembrando o Teste da Integral:

Sendo assim, vamos usar o teste da integral no termo

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

E verificar que essa integral converge ou diverge! Se ela converge, então a série

∑ n = 1 ∞ 1 x 2

Também converge! Se a integral diverge, a série também! E é essa série que vamos usar para fazer o teste da comparação! E assim entender o comportamento da série dada!

Em resumo o Teste da Comparação é

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 :

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 = ⏝ ∞ ∞ lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 / n 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 2 = 1

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Letra (b): vamos a gora calcular essa integral imprópria ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x e o truque aqui é trazer esse infinito para fora, resolver a integral e no final avaliar o limite! Saca só

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim c →  ∞ ⁡ ∫ 1 c x - 2 d x = lim c →  ∞ ⁡ - 1 x 1 c = lim c →  ∞ ⁡ - 1 c + 1

E agora por fim avaliar o limite quando c → ∞

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim c →  ∞ ⁡ - 1 c + 1 = 1

Olha que legal! Encontramos um valor finito e positivo! Isso significa que a integral converge!

E em consequência disso a série associada também!

Partiu aplicar o teste da comparação agora?

Passo 4

Letra (c): agora que sabemos que a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Converge, vamos aplicar o teste da comparação! A série que queremos determinar o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Então

a n = 1 n n 2 + 1

E a série que conhecemos o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Assim

b n = 1 n 2

Agora para cada n > 1 temos que

n n 2 + 1 > n 2

Então

1 n n 2 + 1 < 1 n 2

E portanto

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 > ∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

E como a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 é convergente e está “por cima”, então a nossa série também será convergente!

Passo 5

Recapitulando

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 : c o n v e r g e n t e

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 > ∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Então a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

É divergente!

Beleza? Espero ter ajudado! Vamos para a próxima desse simulado? Bora galera!

Resposta

a )   1

b )   1

c )   c o n v e r g e n t e

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