UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 9
Considere a série
Escolhe uma ou mais
- Calcule o limite
- Calcule a integral
- Usando os testes da integral e da comparação de limite, pode-se concluir que a série converge, diverge ou não se conclui nada?
Passo 1
Oi galera, belezinha por aí? Vamos começar?
O problema deu essa série aqui
E pediu para acharmos o limite quando , depois para calcular essa integral imprópria aqui , e por fim para usar os testes da integral e da comparação e concluir sobre a convergência da série dada... mas o que tem a ver uma coisa com a outra?
Porque estamos falando de dois testes: teste da integral e teste da comparação!
Vamos começar relembrando o Teste da Integral:
Sendo assim, vamos usar o teste da integral no termo
E verificar que essa integral converge ou diverge! Se ela converge, então a série
Também converge! Se a integral diverge, a série também! E é essa série que vamos usar para fazer o teste da comparação! E assim entender o comportamento da série dada!
Em resumo o Teste da Comparação é
Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!
Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui :
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Letra (b): vamos a gora calcular essa integral imprópria e o truque aqui é trazer esse infinito para fora, resolver a integral e no final avaliar o limite! Saca só
E agora por fim avaliar o limite quando
Olha que legal! Encontramos um valor finito e positivo! Isso significa que a integral converge!
E em consequência disso a série associada também!
Partiu aplicar o teste da comparação agora?
Passo 4
Letra (c): agora que sabemos que a série
Converge, vamos aplicar o teste da comparação! A série que queremos determinar o comportamento é
Então
E a série que conhecemos o comportamento é
Assim
Agora para cada temos que
Então
E portanto
E como a série é convergente e está “por cima”, então a nossa série também será convergente!
Passo 5
Recapitulando
Então a série
É divergente!
Beleza? Espero ter ajudado! Vamos para a próxima desse simulado? Bora galera!