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Exercícios Resolvidos de Teste da integral

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Enunciado

Questão 1: Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

c )     ∑ m = 1 ∞ - 1 m m + 1 log e ⁡ m + 1 2

Passo 1

Tenho um grande pressentimento que essa série converge absolutamente, afinal...

∑ m = 1 ∞ - 1 m m + 1 log e ⁡ m + 1 2 =

Como m + 1 é positivo e o log ao quadrado também...

∑ m = 1 ∞ 1 m + 1 log e ⁡ m + 1 2

Bem, o Log ali ta chamando muito o teste integral! Vamos nessa?

Passo 2

Antes de aplicar o teste em si, devemos verificar se esse termo é decrescente e é positiva ou não.

1 m + 1 log e ⁡ m + 1 2

Veja que o termo é positivo, e se aplicarmos o limite com m → ∞ veremos que esse termo vai a 0 . Beleza, então para esse teste basicamente a gente vai tentar calcular:

∫ 1 ∞ 1 m + 1 log e ⁡ m + 1 2   d x

Se essa integral convergir, então a série converge, caso divirja a séria também divergirá!

Se fizermos uma mudança do tipo...

log e ⁡ x + 1 = y

ln ⁡ x + 1 = y

d y = 1 x + 1 d x         →

1 x + 1 d x = d y

Mudando também os limites de integração...

x = 1   →         y = log e ⁡ 2

x → ∞   ⇒           y → ∞

∫ 1 ∞ 1 x + 1 log e ⁡ x + 1 2   d x = ∫ log e ⁡ 2 ∞ 1 y 2   d y =

- 1 y log e ⁡ 2 ∞ = - 1 ∞ - - 1 log e ⁡ 2 =

1 log e ⁡ 2

Como a integral converge então à série...

∑ m = 1 ∞ - 1 m m + 1 log e ⁡ m + 1 2

Converge absolutamente!

Resposta

Converge absolutamente!

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