(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

f)

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n + 1 n + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n + 1 n + 1 converge ou diverge.

Aqui podemos utilizar o Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x + 1 x + 1 d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, temos:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x + 1 x + 1 d x =

Fazendo u = x + 1 ∴ d u = d x , logo:

= ∫ 2 ∞ ln ⁡ u u d u ∴

Fazendo v = ln ⁡ u ∴ d v = 1 u d u

= ∫ 2 ∞ v d v ∴

= v 2 ∞ 2 ∴

= ln ⁡ u 2 ∞ 2 ∴

= ln ⁡ x + 1 2 ∞ 2 ∴

= ∞

Logo, percebemos que a integral diverge.

Dessa forma, a série também diverge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série diverge

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