Use o Teste da Integral para achar quais das séries convergem e quais divergem:

b)

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n converge ou diverge pelo Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, temos:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x d x =

Fazendo a substituição u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x , temos:

= ∫ 2 ∞ u d u ∴

= u 2 2 ∴

= ln ⁡ x 2 2 ∞ 2 ∴

= ln ⁡ ∞ 2 2 - ln ⁡ 2 2 2 ∴

= ∞

Logo, percebemos que a integral diverge.

Dessa forma, a série também diverge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série diverge

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