Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Que série desgraçada é essa?? Seguinte, não consigo pensar em nenhum teste que venha a ser útil nesse caso, então... por que não tentamos o teste da integral?
Ta, mas essa desgraça não é fácil de integrar não! Ia ser bem mais fácil se o termo dentro do fosse igual ao termo de baixo! Dando uma misturada na série podemos chegar a um negócio parecido e que é mais fácil de integrar:
Já que estamos meio desesperados, vamos ver se achamos uma relação dessa série com a nossa pela comparação no limite:
é o termo da série que a gente que a gente quer analisar!
Agora presta atenção numa coisa! Quando , e concorda? Aquele ali é insignificante! Então cortando esses termos:
Assim, essas séries ou convergem juntas ou divergem juntas. Ufa! Que sorte!
Agora devemos analisar a convergência da série usando o teste da integral que tínhamos planejado lá no começo.
Passo 2
Primeiro devemos ver se o termo geral vai a zero e se a função é decrescente.
- e temos que a derivada de é dada por:
Para que , precisamos:
E como esse valor é maior que , ! Então a função é decrescente para todo maior que . Pra facilitar nas contas, vamos usar o que acha? Já que , ta tranquilo ;)
Assim:
Fazendo e temos:
E essa integral sai por partes
Onde
Então
Logo essa série converge. Consequentemente, a série que nós queremos converge também o/.
Além disso, como:
Para , a série converge absolutamente.
Finalmente! Os caras forçaram um pouco a barra nessa questão, mas agora estamos preparados caso apareça de novo né? 😉
Resposta
A série converge absolutamente.