9 - Determine se a série converge ou diverge.

i) ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ ln ⁡ n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ ln ⁡ n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teste da integral para ver se a série converge ou diverge.

O teste da integral consiste em, dada uma série ∑ n = 1 ∞ a n , substituir n por x para obter uma função f x e integrar em ∫ 1 ∞ f x d x .

Assim se a integral converge, a n converge, mas se a integral diverge, a n também diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 ln ⁡ ln ⁡ n

Substituindo n por x , temos

f x = 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Calculando a integral de f x

∫ 1 ∞ 1 ln ⁡ ln ⁡ x d x

Nesse caso, podemos usar uma abordagem diferente... se esboçarmos o gráfico de f x , vamos obter

Perceba que em x = e , temos

f e = 1 ln ⁡ ln ⁡ e = 1 ln ⁡ 1 = 1 0

Ou seja, em x = e temos uma descontinuidade... para valores infinitesimalmente menores que e f x tende a - ∞ e para valores infinitesimalmente maiores que e f x tende a + ∞ . Portanto podemos dizer que temos uma divergência.

Logo, se a integral diverge, a série ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ ln ⁡ n também diverge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Diverge pelo teste da integral.

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