Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 3 – Exercício 25
(Capítulo 11.3 – Exercício 25) Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Faaala galera, vamos lá!
Esse exercício da uma série pra gente:
E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?
Para essa série, é uma mão na roda usar o teste da integral pra verificar se converge ou diverge
Só pra lembrar como é feito esse teste:
- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função (isso significa apenas substituir por )
- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee
- Vamos calcular a integral da função no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?
Passo 2
Então, temos a série
Chamando vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:
O nosso denominador é sempre positivo, e o numerador também (para ), então a divisão como um todo é sempre negativa no intervalo em questão
Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?
Podemos seguir com o teste da integral :P
Passo 3
Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:
Fazendo MMC, teremos:
Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:
Da segunda equação podemos tirar que e da terceira equação podemos tirar que , logo, podemos escrever nossa da seguinte maneira:
Passo 4
Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:
Para a primeira integral, temos que:
Para a segunda integral, temos que:
Para a terceira integral, temos que:
Sendo assim, teremos:
Por fim, aplicando o limite, teremos:
Opa, o limite convergiu. Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.