Questão 2) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual modo de convergência. Especifique os testes utilizados.
b)
Passo 1
Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:
Para calcular esse limite, podemos calcular o limite da função contínua
Pois os limites serão os mesmos, saca? A vantagem de se fazer isso é que assim podemos usar as regras já conhecidas de limites, como L’Hopital entre outros :D
Então bora calcular esse limite:
Passo 2
Observe que quando cresce o também cresce fazendo o denominador indo a então a fração vai com certeza para...
Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.
Veja que temos um e também nessa sequência e que é a derivada do . Poxa, então o método das integrais facilita muito.
Aí se a integral convergir a série converge, se divergir a série também diverge. Mas agora, essa implicação não é válida sempre:
Só é válida em casos a sequência é decrescente, ora e prensa comigo, se a sequência vai a no infinito
E também ele é formada por temos positivos, pois é positivo e também é, então a única forma dessa fração ir a é se ela for decrescente de fato (pensa no gráfico de ).
Logo no nosso caso a gente pode aplicar a relação de boas! Vem comigo ;D
Passo 3
Resolvendo essa integral por uma substituição simples...
Então...
Trocando novamente pelo termo em ...
Então...
Epa! A integral convergiu para um valor! Então com certeza a série...
Converge!
Passo 4
Além da série convergir, podemos falar também que ela converge absolutamente, pois...
Se a série do lado direito converge, então a série do módulo também converge, fazendo com que ela convirja absolutamente.
Resposta
Converge absolutamente pelo método das integrais.