Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 15
(Capítulo 11.9 – Exercício 15) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Oieee, não fica triste com esse não, vamos matar essa rapidinho!
Temos uma função e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim
Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série de potências
Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Passo 2
Vamos lá, temos a função
Podemos escrever essa função como a integral da sua derivada, porque isso vai dar ela mesma né hahahaha
Sabendo que , temos
Vamos fazer aparecer no denominador, dividindo tudo por 5:
Passo 3
Dentro da integral, temos algo no estilo
Ou seja, um valor dividindo alguma coisa
Isso parece muito a representação de uma série com o resultado assim:
Em que é o primeiro termo da série e é a razão:
Então
Colocando isso na integral:
Passo 4
Temos
Vamos deixar o sozinho, afinal, a integral é em relação a ele:
Show! E aí sabemos que a integral de é , então
Onde é a constante de integração
Passo 5
Agora, se usarmos a função original e fizermos , descobriremos o valor da constante :
Uhuuu, então
Passo 6
Como a razão da série geométrica que usamos era , pra série convergir devemos ter:
Então o raio de convergência é
E fimmm