(Capítulo 11.9 – Exercício 15) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = ln ⁡ ( 5 - x )

Passo 1

Oieee, não fica triste com esse l n não, vamos matar essa rapidinho!

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 2

Vamos lá, temos a função

f x = ln ⁡ ( 5 - x )

Podemos escrever essa função como a integral da sua derivada, porque isso vai dar ela mesma né hahahaha

Sabendo que d d x ln ⁡ 5 - x = - 1 5 - x , temos

f x = ln ⁡ 5 - x = ∫ - 1 5 - x   d x

Vamos fazer aparecer 1 - a l g o no denominador, dividindo tudo por 5:

f x = ∫ - 1 5 1 - x 5   d x

Passo 3

Dentro da integral, temos algo no estilo

c 1 - d

Ou seja, um valor c dividindo 1 - alguma coisa

Isso parece muito a representação de uma série com o resultado assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão:

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Então

- 1 5 1 - x 5 = ∑ n = 0 ∞ - 1 5 . x 5 n ,     x 5 < 1

Colocando isso na integral:

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 x 5 n d x

Passo 4

Temos

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 x 5 n d x

Vamos deixar o x sozinho, afinal, a integral é em relação a ele:

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 x n d x

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 ∫ x n d x

Show! E aí sabemos que a integral de x n é x n + 1 n + 1 , então

f x = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) 5 n + 1 x n + 1 n + 1

Onde C é a constante de integração

Passo 5

Agora, se usarmos a função f x original e fizermos x = 0 , descobriremos o valor da constante C :

ln ⁡ 5 - 0 = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 5 n + 1   0 n + 1

ln ⁡ 5 = C + 0

C = ln ⁡ 5

Uhuuu, então

f x = ln ⁡ 5 + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) 5 n + 1 x n + 1 n + 1

Passo 6

Como a razão da série geométrica que usamos era x 5 , pra série convergir devemos ter:

x 5 < 1

x < 5

- 5 < x < 5

Então o raio de convergência é R = 5

E fimmm

Resposta

f x = ln ⁡ 5 + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) 5 n + 1 x n + 1 n + 1

R = 5

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