(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

b)

∑ n = 1 ∞ n n + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ n n + 1 converge ou diverge.

Aqui podemos utilizar o Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ x x + 1 d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, temos:

∫ 1 ∞ x x + 1 d x =

Fazendo a substituição u = x + 1 ∴ d u = d x , temos:

∫ 1 ∞ u - 1 u d x =

= ∫ 1 ∞ u u d u - ∫ 1 ∞ 1 u d u ∴

= ∫ 1 ∞ 1 d u - ∫ 1 ∞ 1 u d u ∴

= x - ln ⁡ x + 1 ∞ 1

= ∞

Logo, percebemos que a integral diverge.

Dessa forma, a série também diverge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série diverge

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