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Exercícios Resolvidos de Teste da integral

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Enunciado

Determine para quais valores de p > 0 a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 3 n n p converge e para os quais ela diverge. Justifique bem as respostas.

Passo 1

Para essa série, vamos tentar usar o critério (ou teste) da integral. Você lembra das condições necessárias pra aplicar esse teste? Aqui vai:

f n = a n

f x ≥ 0

f ' x < 0

O que as afirmações acima dizem é o seguinte: precisamos ter uma função que seja igual ao termo geral da série, essa função deve ser positiva e decrescente a partir de algum x . Se tudo isso for satisfeito, poderemos usar o teste da integral, que diz o seguinte:

∑ n = 1 ∞ a n = ∫ 1 ∞ f x d x =   lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b f x d x

Logo, se a integral imprópria convergir, a série também converge. Se a integral imprópria divergir, a série também diverge.

Passo 2

Bom, então mãos à obra! Primeiro, vamos criar nossa função:

a n = ln ⁡ 3 n n p   ⇒     f x = ln ⁡ 3 x x p

Agora, vamos checar se ela é positiva. Bom, considerando x ≥ 1 / 3 (lembrando que na integral, o limite inferior de integração é 1 > 1 / 3 ) essa função é positiva, pois ln ⁡ 3 x ≥ 0 , quando x ≥ 1 / 3 .

Finalmente, vamos ver se é decrescente. Para tal, precisamos da nossa linda derivada, que nos diz exatamente se a função é decrescente ou não.

f ' x = x p 3 3 x - ln ⁡ 3 x p x p - 1 x 2 p = x p - 1 - ln ⁡ 3 x p x p - 1 x 2 p = 1 - ln ⁡ 3 x p x p + 1

Queremos:

f ' x < 0

1 - ln ⁡ 3 x p < 0   ⇒   1 p < ln ⁡ 3 x   ⇒   e 1 p 3 < x

Logo, temos que f é positiva e é decrescente para todo x > e 1 p 3 . Então podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplicado o critério:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ ln ⁡ 3 x x p d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 ∞ ln ⁡ 3 x x p d x

Lembrando nossa famosa amiga integral por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Integrando por partes aquele monstrinho, adotemos

u = ln ⁡ 3 x ⇒   1 / x

d v = x - p   ⇒   v = x - p + 1 - p + 1 = 1 ( 1 - p ) x p - 1

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ 3 x x p d x = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ 3 x ( 1 - p ) x p - 1 1 b - lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 1 - p x p d x

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ 3 x 1 - p - 1 1 - p 2 x p - 1 1 b = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ 3 b 1 - p - 1 1 - p 2 b p - 1 - ln ⁡ 3 1 - p - 1 1 - p 2

Como aquele segundo termo do limite não depende de b , estudaremos apenas o limite do primeiro termo, ok?

Perceba que para 0 < p ≤ 1 , a parcela b p - 1 fica negativa, jogando o b para o numerador. Logo, como b → ∞ toda aquela expressão vai para infinito. Então para 0 < p ≤ 1 a integral diverge, e também a série:

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ 3 b 1 - p - 1 1 - p 2 b p - 1 = + ∞

Agora para p > 1 , aquela mesma parcela fica positiva, gerando uma indeterminação do tipo - ∞ ∞ . Usaremos L’Hôpital para resolver:

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ 3 b 1 - p - 1 1 - p 2 b p - 1   ⇒ L H lim b → ∞ ⁡ 1 - p b 1 - p 2 p - 1 b p - 2 = lim b → ∞ ⁡ - 1 1 - p 2 b p - 1 = 0

Portanto, a integral converge para p > 1 , e também a série.

Resposta

A série converge para p > 1 e diverge para p ≤

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