Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
(a) (1.0)
(b) (1.0)
Dica: O teste da razão é inconclusivo em ambos os casos.
Passo 1
Opa, vamos lá. A questão quer que a gente estude a convergência das séries e ela já nos diz que o teste da razão é inconclusivo. Então, nem precisamos perder o nosso tempo com ele.
Vamos começar pela primeira séria:
Já que não vamos usar o teste da razão, podemos pensar no teste da integral aqui. Você se lembra como era?
É o seguinte: Se tivermos uma função positiva decrescente em que (ou seja, coincide com o termo geral da série), então se a integral dessa função converge, a série também converge. Ah, se a integral diverge, a série também irá divergir. Se liga nesse detalhe, TEM que ser DECRESCENTE!!
Beleza!! Vamos testar na nossa série.
Primeiro, vamos ver que é a nossa
Basicamente, trocamos o por . Agora, temos que saber se essa função é decrescente. Para isso, podemos derivar a função. Se a derivada for negativa, saberemos que a função é decrescente.
Como estamos trabalhando com valores positicos de , então o denominador sempre será positivo. Vamos então analisar o numerador.
Então, a nossa função é descrecente para valores de maiores que .
Passo 2
Agora, que já vimos que a nossa função atende aos requisitos para usarmos o teste da integral, podemos aplicar a integral:
Como é uma integral imprópria, a gente coloca o limite superior como e faz:
Essa integral, a gente resolve por parte e chega a:
Agora, vamos resolver esse limite.
No primeiro termo temos um caso de , então usaremos L’Hopital para nos ajudar, ou seja, a gente deriva o numerador e o denominador.
Show. O próximo limite é mais fácil:
Então:
Nossa integral então ficará:
Olha, a integral converge. Pelo teste da integral, temos que a nossa série também converge!
Passo 3
Vamos então partir para a segunda série.
Novamente, não vamos começar pelo teste da razão porque a questão já nos disse que é inconclusivo, ok?
Bom, podemos tentar o teste da comparação. Vamos ver o que podemos comparar com o nosso termo geral. Vamos usar uma série que seja maior que a nossa alterando o numerador assim:
Bom, se a gente reduzir o denominador, teremos um valor de série maior:
Rearrumando, a gente chega que:
E agora??
é o que a gente chama de -série e aí a gente sabe que uma -série tem a seguinte cara:
E o seu critério de convergência é:
Então, no nosso caso , temos
Logo, essa série converge e por comparação a nossa série também converge.
Resposta
a) Converge
b) Converge