Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 3 – Exercício 17
(Capítulo 11.3 – Exercício 17) Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Faaala galera, vamos lá!
Esse exercício da uma série pra gente:
E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?
Para essa série, é uma mão na roda usar o teste da integral pra verificar se converge ou diverge
Só pra lembrar como é feito esse teste:
- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função (isso significa apenas substituir por )
- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee
- Vamos calcular a integral da função no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?
Passo 2
Então, temos a série
Chamando , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:
O nosso denominador é sempre positivo, e o numerador também (porque o x é sempre maior que 1), então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)
Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?
Podemos seguir com o teste da integral :P
Passo 3
Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Calculando a integral:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica com e :
Retornando à nossa integral imprória, temos:
Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!