(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

e)

∑ n = 1 ∞ 1 1 + ln ⁡ n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ 1 1 + ln ⁡ n 2 converge ou diverge.

Aqui podemos utilizar o Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 1 + ln ⁡ x 2 d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, temos:

∫ 1 ∞ 1 1 + ln ⁡ x 2 d x

Fazendo u = 1 + ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x , temos:

= ∫ 1 ∞ 1 u 2 d u ∴

Obs: quando n   =   1 , temos u   =   1   +   l n ( 1 )   =   1 . Quando n tende ao infinito, u também tende ao infinito.

= - 1 u ∞ 1 ∴

= 1

Logo, percebemos que a integral converge.

Dessa forma, a série também converge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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