(Capítulo 11.3 – Exercício 4) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

4. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Passo 1

E aee colega, tudo certinho? Vamos lá pra mais uma questão de séries

Nesse caso aqui, queremos usar o teste da integral pra determinar se uma série converge ou diverge

Só pra lembrar como é feito esse teste:

- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função f ( x ) (isso significa apenas substituir n por x )

- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee

- Vamos calcular a integral da função f ( x ) no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?

Então boraaa lá

Passo 2

Temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Que pode ser escrita assim:

∑ n = 1 ∞ n -   5

Chamando f x = x - 5 , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de 1 a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:

f ' x = - 5 . x - 5 - 1

f ' x = - 5 x - 6

f ' x = - 5 x 6

O nosso denominador é sempre positivo, então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)

Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?

Podemos seguir com o teste da integral :P

Passo 3

Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ x - 5 d x

Quando temos uma integral imprópria, envolvendo o infinito, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x - 5 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 4

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 1 t x - 5 d x = - x - 4 4 t 1

∴ ∫ 1 t x - 5 d x = - t - 4 4 + 1 4

Aplicando o limite:

l i m t → ∞ - 1 4 t 4 + 1 4 = 0 + 1 4 = 1 4

Ebaaa, a integral resultou em um valor finito, convergiu

Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 5   é   c o n v e r g e n t e

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