Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 3 – Exercício 4
(Capítulo 11.3 – Exercício 4) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
4.
Passo 1
E aee colega, tudo certinho? Vamos lá pra mais uma questão de séries
Nesse caso aqui, queremos usar o teste da integral pra determinar se uma série converge ou diverge
Só pra lembrar como é feito esse teste:
- Vamos transformar o termo geral da nossa série em uma função (isso significa apenas substituir por )
- Se essa função for decrescente, podemos seguir com os próximos passos. Se não for, byee
- Vamos calcular a integral da função no intervalo da somatória. Se ela convergir, a série também converge, fechou?
Então boraaa lá
Passo 2
Temos a série:
Que pode ser escrita assim:
Chamando , vamos verificar se essa função é decrescente no intervalo de a . Para isso, vamos derivar a função e verificar se a derivada é sempre negativa nesse intervalo, porque uma derivada negativa indica que a função é decrescente, lembra? Então:
O nosso denominador é sempre positivo, então a divisão como um todo é sempre negativa (por causa do sinal de menos ali)
Então, a derivada é sempre negativa e portanto a função é decrescente nesse intervalo né?
Podemos seguir com o teste da integral :P
Passo 3
Para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Quando temos uma integral imprópria, envolvendo o infinito, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 4
Resolvendo a integral primeiro, teremos:
Aplicando o limite:
Ebaaa, a integral resultou em um valor finito, convergiu
Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.