Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ln ⁡ n 2

Passo 1

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n → ∞ , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln ⁡ n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x 1 + ln ⁡ x 2

Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada

f ' x = 0 - 1 + ln ⁡ x 2 + x 2 ln ⁡ x 1 x x 1 + ln ⁡ x 2 2 = - 1 + ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x 2 2

Vamos dar uma arrumada nisso, repara que temos

1 + ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x + 1 = ln ⁡ x + 1 2

Então

f ' x = - ln ⁡ x + 1 2 x 1 + ln ⁡ x 2 2

O denominador e o numerador são sempre positivos, então com aquele menos de fora a derivada vai ser negativa sempre, assim a nossa função é decrescente e podemos usar o teste da integral.

Agora devemos olhar a convergência da integral

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

Passo 2

Vamos para essa integral

∫ 1 ∞ 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

∫ 1 ∞ 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x

Temos que resolver

∫ 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x

Vamos fazer

ln ⁡ x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

∫ 1 x 1 + ln ⁡ x 2 d x = ∫ 1 1 + u 2 d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral

∫ 1 1 + u 2 d u

Aqui vamos usar substituição trigonométrica, como temos u 2 + 1 vamos fazer

u = 1 ⋅ tan ⁡ θ

Assim

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na integral

∫ 1 1 + u 2 d u = ∫ 1 tan ⁡ θ 2 + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ + 1

Lembrando que

sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

Assim vamos ter

∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ + 1 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ = θ

Como

θ = arctan ⁡ u

Vamos ter

∫ 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ u

Passo 4

Isso nos diz que

∫ 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ u

Voltando para x

∫ 1 x ( 1 + ln ⁡ x 2 d x = arctan ⁡ ln ⁡ x

Passo 5

Voltando para o nosso limite temos

lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x ( 1 + ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ x 1 a = lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ a - arctan ⁡ ln ⁡ 1

Temos

lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ a - arctan ⁡ 0 = lim a → ∞ ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ a + 0 = π 2

E essa integral converge a série converge

Resposta

Converge

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