Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Se olharmos bem esse termo da série vai para quando , então o teste da divergência não vai ajudar.
Repara que temos e no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.
Para o teste da integral temos que fazer
Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada
Vamos dar uma arrumada nisso, repara que temos
Então
O denominador e o numerador são sempre positivos, então com aquele menos de fora a derivada vai ser negativa sempre, assim a nossa função é decrescente e podemos usar o teste da integral.
Agora devemos olhar a convergência da integral
Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.
Passo 2
Vamos para essa integral
Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter
Temos que resolver
Vamos fazer
E a integral vai ficar
Passo 3
Vamos resolver essa integral
Aqui vamos usar substituição trigonométrica, como temos vamos fazer
Assim
Substituindo na integral
Lembrando que
Assim vamos ter
Como
Vamos ter
Passo 4
Isso nos diz que
Voltando para
Passo 5
Voltando para o nosso limite temos
Temos
E essa integral converge a série converge
Resposta
Converge