Determine se a série é convergente ou divergente.

d)

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte série S converge ou diverge:

S = ∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom, uma forma é aplicarmos o Teste da Integral, que é definido da seguinte forma:

“Se existe um N ≥ k tal que para todo n ≥ N , f n = a n é positiva, contínua e decrescente. Então ∑ n = k ∞ a n e ∫ k ∞ f x d x podem ser convergentes ou divergentes ”

Agora vamos aplicar esse Teste!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Primeiramente vemos que 1 n ln ⁡ n 2 é positiva, contínua e decrescente para n ≥ 2 .

Assim, aplicando o Teste da Integral, temos:

∫ 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2 d n

Fazend u = ln ⁡ n ∴ d u = 1 n d n , temos:

∫ 2 ∞ 1 u 2 d u ∴

= - 1 u ∴

= - 1 ln ⁡ n ∞ 2 ∴

= 1 ln ⁡ ∞ - 1 ln ⁡ 2 ∴

= 1 ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série coverge para

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n 2 = 1 ln ⁡ 2

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