Determine o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .

∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n 4 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Raiz. E como ele funciona? Basicamente vamos ter que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n 4 n

a n = x - 1 2 n 4 n

E agora vamos ter que fazer o seguinte:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e   s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   a f i r m a r   n a d a

Passo 2

Show galera, vamos calcular

∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n 4 n

a n = x - 1 2 n 4 n

Jogando no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 2 n 4 n n

Se tirarmos a raiz de n do numerador e denominador:

lim n → ∞ ⁡ x - 1 2 n 4 n n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 2 4 = x - 1 2 4

Como o nosso enunciado pede que achemos o intervalo de Convergência, temos que lembrar que:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e

Então:

0 ≤ x - 1 2 4 < 1

0 ≤ x - 1 2 < 4

0 ≤ x - 1 < 2

Aplicando a ideia do módulo:

- 2 ≤ x - 1 < 2

- 1 ≤ x < 3

Resposta

- 1 ≤ x < 3

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