(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

n)

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3 converge ou diverge pelo Teste da Integral.

Então... Para usar o Teste da Integral, precisamos comparar a série dada com uma integral imprópria.

Nesse caso, podemos escrever a série na forma da seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 3 d x

Agora basta calcularmos a integral e verificar se ela converge ou diverge!!

Passo 2

Bom... Resolvendo a integral, temos:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 3 d x =

Fazendo a substituição u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x , temos:

∫ 0 ∞ u e 3 u d u =

= - 1 3 * e - 3 u ∞ 0

= - 1 3 * 1 ∞ 3 - - 1 3 * e 0

= 1 3

Logo, percebemos que a integral converge.

Dessa forma, a série também converge!!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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