Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

2y = cos(x), y = sen(x), y = 0, π/4 ≤ x ≤ π : e m t o r n o n o e i x o x e r e t a x = -1

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = cos ⁡ x e a curva y = s e n   x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

É dado pela seguinte integral:

V = ∫ π 4 π π s e n 2 x d x - ∫ π 4 π 2 π cos 2 ⁡ x d x ∴

Como essas integrais já são tabeladas, temos que:

V = π 3 π + 2 8 - π - 2 8 ∴

V = 2 π 2 + 4 π 8

Passo 3

Agora, em torno da reta x = - 1 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ π 4 π ( x + 1 ) s e n x d x - ∫ π 4 π 2 ( x + 1 ) cos ⁡ x d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( x + 1 ) é pra escolher o eixo de rotação.

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 1 2 24 x - 3 x 2 + 8 - x 3 d x ∴

V M C C = 2 π π + 1 + π 4 2 - π 2 - 1 + π + 8 4 2 ∴

V M C C = 2 π 2 + π 2 + 4 π - 2 π 2 2

Resposta

V M C C = 2 π 2 + π 2 + 4 π - 2 π 2 2

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