Seja definida em e a região delimitada pelo gráfico da função e o eixo . Calcule o volume do sólido gerado ao se rotacionar a região ao redor do eixo .
Passo 1
Essa questão tem tudo pra gente aplicar o método das cascas cilíndricas, que é aquela fórmula:
Onde e são os pontos de interseção de com o eixo . Temos que:
Só que tem um detalhe:
Ou seja, só intercepta o eixo em mesmo, não há nenhuma outra interseção.
Mas isso não tem problema nenhum, a única diferença em relação à fórmula habitual é que na integral não vamos ter um intervalo , bonitinho, e sim uma integral imprópria:
Passo 2
Pra gente não se embolar, que tal começar calculando só a integral indefinida, e depois a gente tomar o limite? Ou seja, calcular:
Vamos integrar por partes, usando:
Então vamos ter
Passo 3
Vamos calcular separado essa nova integral que apareceu:
Integramos por parte de novo, usando:
Assim:
Passo 4
Recapitulando, até aqui vimos que
E nós queremos calcular
Então temos que achar o valor do limite
Passo 5
Então mão na massa!
Repare que dá pra botar em evidência e cortar com o , aí fica:
Assim separamos aquele limite grandão em outros três menores.
Passo 6
Começando pelo primeiro limite:
Essa é uma indeterminação do tipo , precisamos dar uma ajeitada na expressão:
Agora sim, temos uma indeterminação do tipo onde dá pra aplicar a regra de l’Hôpital:
Usando l’Hôpital mais uma vez:
Passo 7
Pro segundo limite vamos fazer exatamente a mesma coisa que no passo anterior, a única que diferença é que só vamos ter que usar l’Hôpital uma vez:
Caímos exatamente no mesmo limite que antes, que dá:
Passo 8
E o terceiro limite é, simplesmente:
Passo 9
Portanto, juntando tudo, o volume dá: