Cálculo de Volumes através de Integrais
Seja a região situada entre as curvas , , e . Calcule o volume do sólido obtido fazendo girar a região em torno do eixo .
Passo 1
O chato dessa questão é conseguir visualizar. Vamos fazer um esboço para nos orientar. Como sabemos que o polinômio é crescente para todo o , podemos ver que:
Deve ser decrescente para todo , excluindo onde não está definido. Além disso temos:
Passo 2
Portanto podemos esboçar:
Agora podemos fazer a fórmula de cascas cilíndricas:
Onde é a distância de um ponto arbitrário no eixo até o eixo de giro. No caso a distância é simplesmente :
Passo 3
A função é a altura do gráfico. Como a região só considera a parte do gráfico acima de , nossa é:
Logo:
Passo 4
Fazendo a distributiva da integral:
Integramos:
Por fim, substituímos os valores:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em