Um bloco em repouso postado sobre um plano horizontal sem atrito explode em 2 fragmentos. O primeiro se desloca para a esquerda e tem massa m E = 4,0   k g e o segundo move-se para a direita.

O fragmento da esquerda atinge uma região de coeficiente de atrito cinético μ E = 0,60 e percorre uma distância d E = 48   m até parar.

O fragmento da direita entra em uma região de atrito cinético μ D = 0,40 e percorre uma distância d D = 32   m até chegar ao repouso.

O módulo da aceleração gravitacional no local é g = 10   m / s 2 . Determine:

  1. Os módulos das velocidades dos fragmentos da esquerda e da direita antes de entrarem nas regiões onde existe atrito.
  2. A massa m D do fragmento da direita.
  3. A variação da energia cinética do sistema entre os instantes antes e logo após a explosão.

Passo 1

Letra a)

Para achar os módulos das velocidades dos fragmentos logo antes de entrarem nas regiões com atrito nós precisamos olhar a distância que elas percorrem nessas regiões.

Vamos ver as forças que atuam sobre o bloquinho da esquerda.

O peso e a normal se anulam e por isso são iguais.

N = m E g

Ao longo do eixo x , a força resultante é a força de atrito, no sentido positivo.

F a t = m E a

Todo o trabalho de frear o fragmento é realizado pela força de atrito. Para o atrito cinético, ela é constante e igual a:

F a t = μ E N = μ E m E g

Assim, podemos calcular seu trabalho multiplicando pela distância percorrida. Porém, como o atrito e o deslocamento têm sentidos contrários, teremos um sinal de menos na equação, o que mostra que o atrito remove energia do movimento, parando-o.

W a t r i t o = - μ E m E g d E

Pelo teorema do trabalho-energia cinética, a variação da energia cinética vai ser igual ao trabalho da força de atrito, e assim:

Δ E c i n , E = 0 - E c i n ,   E ,   i = - μ E m E g d E

Abrindo a fórmula da energia cinética:

m E v E 2 2 = μ E m E g d E

v E = 2 μ E g d E

Pelo enunciado:

  • μ E = 0,60
  • g = 10   m / s 2
  • d E = 48   m

v E = 2 ∙ 0,60 ∙ 10 ∙ 48 = 576 = 24   m / s

Passo 2

O mesmo raciocínio se aplica ao fragmento da direita, o que nos dá:

v D = 2 μ D g d D

  • μ D = 0,40
  • g = 10   m / s 2
  • d D = 32   m

v D = 2 ∙ 0,40 ∙ 10 ∙ 32 = 256 = 16   m / s

Passo 3

Letra b)

Para achar a massa m D do fragmento da direita agora usaremos outro conceito: Momento linear.

A explosão foi interna entre os dois fragmentos, que se movem logo após a mesma sem interferências (num primeiro momento). Assim, não há forças externas e podemos afirmar que o momento linear do sistema se conserva!

Como o momento linear inicial é zero, temos:

0 = m E v E → + m D v D →

Como os vetores tem sentidos opostos, em magnitude temos:

m D v D - m E v E = 0

m D = m E v E v D = 4,0 ∙ 24 16 = 6   k g

Passo 4

Letra c)

No instante antes da explosão, o sistema está parado, logo sua energia cinética é zero.

No instante logo após, temos:

E c i n ,   E = m E v E 2 2 = 4,0 ∙ 24 2 2 = 1152   J

E c i n ,   D = m D v D 2 2 = 6,0 ∙ 16 2 2 = 768   J

Assim a variação da energia cinética foi:

Δ E c i n = E c i n ,   E + E c i n , D - 0 = 1152 + 768 = 1920   J

Se toda a energia da explosão tiver sido aproveitada pra empurrar os fragmentos, poderíamos dizer que a explosão teve pelo menos uma energia de 1920   J liberados.

Resposta

Letra a)

v E = 24   m / s

v D = 16   m / s

Letra b)

m D = 6   k g

Letra c)

Δ E c i n = 1920   J

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