Um trem é carregado com areia ao passar sob uma ponte. A areia é despejada nos vagões à taxa de 500kg por segundo. Como a areia é despejada verticalmente de uma altura de vários metros, ao atingir a caçamba do vagão, a velocidade dos grãos de areia é de cerca de 14m/s. A massa do vagão vazio é de 2.000kg, e é preenchido

com 6.000kg de areia ao passar sob a ponte.

1. Desprezando-se as perdas por atrito com os trilhos, determine a força que a locomotiva precisa fazer para puxar o trem a uma velocidade constante de 0,5m/s e a potência necessária para manter o movimento. Note que como o sistema não pode ser considerado como uma partícula não é conveniente a utilização do teorema trabalho-energia cinética.
2. Determine a força suportada pelo trecho de trilhos sob um vagão quando este estiver 50% preenchido de areia. Suponha que o trecho de trilhos em questão suporta somente este vagão neste momento.
3. Se a locomotiva desengatar do primeiro vagão quantos segundos se passarão até que o restante do trem reduza sua velocidade à metade da inicial? Suponha que a massa do restante do trem (incluindo a areia) seja de 10.000kg no instante do desengate.

a)

Para determinar a força, como a massa é variável, não podemos utilizar a 2ª Lei de Newton! Mas daí hei que surge o impulso! :D

Pelo Teorema do Impulso, temos que:

Ou melhor:

Passando o dt para o outro lado, teremos:

Sabemos que , porém como a massa é variável e a velocidade constante podemos escrever a seguinte relação:

E assim...

Mas quem seria o

A derivada da massa em relação ao tempo, ou seja, taxa de variação da massa, algo que tenha unidade kg/s ou algo do tipo!

Eureka! Lá no enunciado ele nos diz que os carrinhos são abastecidos com 500kg/s de areia, o que seria justamente essa variação!

Calculando de vez agora, temos que:

b)

Para ver a força que esta parte do trilho suporta, devemos primeiro ver o que esse trilho suporta. Claro, tem o peso do trem+areia.

Como o peso é calculado por , a gente vai só somar a massa e multiplicar pela gravidade, que nesse caso é .

Mas e aí, só?

Que nada! Existe também uma força que o trilho faz nos grãos de areia para fazerem eles frearem. Essa força pode ser calculada também por impulso, na forma:

Somando tudo agora, teremos que:

c)

Lá no Passo 3 a gente viu que a variação de massa por tempo a gente chamava .

Passando o para o lado esquerdo, teremos:

Integrando de ambos os lados, a gente vai encontrar...

Ou seja, esse tempo só dependerá da variação da massa de areia .

Mas como achar esse ?

Pela conservação do momento linear, sabemos que antes tínhamos um trem com velocidade e depois, ao encher de areia sua velocidade diminui para . Assim, teremos que:

Como , .

E assim...