UTFPR. Cálculo 2. AV1. 2022.1. Questão 1b.
Questão 1) Determine o domínio e a imagem das funções
(b)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nossa questão nos deu uma função e nos pediu pra determinar o domínio e a imagem de .
A princípio, podemos substituir por pra ficar parecido com algo que já conhecemos.
Mas e aí! Como podemos determinar o domínio e a imagem de uma função?? 🤔🤔
Imagine que estamos um bolo! A gente coloca os ingredientes em uma vasilha, bate, coloca em uma forma e leva ao forno, correto?
Podemos fazer uma analogia desse processo com o processo de calcular uma função.
Os ingredientes do bolo é o domínio da função.
A ação de bater, colocar em uma forma e levar a forma é o processo de transformação dos ingredientes, ou seja, o processo de transformação do nosso domínio dentro da função.
Por fim, o bolo pronto é a imagem da nossa função, o resultado dos valores do domínio que inserimos na função.
Entendeu?
Passo 2
Porém, queremos fazer um bolo, então não podemos usar qualquer coisa como ingrediente. Se colocarmos um fermento errado ou um par de sapato nos ingredientes, o resultado final não vai ser um bolo!
A mesma coisa se aplica na nossa função, podem existir algumas restrições no domínio da função, ou seja, nos valores que podem ser aplicados a função.
Dessa forma, para cada caso é necessária uma análise desses dados.
No nosso caso a função é
Devemos nos fazer uma pergunta: “podemos colocar qualquer valor pra e ?”
A resposta é não!
Nossa função é um com outra função dentro dele.
Analisando as propriedades de por exemplo, vemos que para a função simplesmente não existe.
Com isso, a função dentro do deve seguir a mesma proposta, ou seja
Com isso, vemos que o domínio da nossa função, ou seja, os possíveis valores de e são os números tais que .
Escrevendo isso na forma mais correta, temos que
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Por último, queremos dos possíveis valores que nossa função é capaz de resultar, ou seja, nossa imagem.
Pelo que sabemos das propriedades de quando é muito pequeno, próximo de , a função tende a e quando for muito grande tendendo ao infinito, o resultado da função também tende ao infinito.
Da mesma forma se for muito próximo de ou muito grande, tendendo ao infinito.
Dessa forma, como nossa função atinge qualquer valor entre e podemos dizer que ela atinge quaisquer valores reais.
Escrevendo isso de forma mais coerente, temos
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
