USP, Sem Campus, Física 1, Coletâneas de Exercícios - Parte I - Cinemática, Leis de Newton, Trabalho e Energia, Questão 14a
Um trem parte de uma estação com aceleração constante de Um passageiro chega à estação segundos depois de o trem ter passado pelo mesmo ponto da plataforma. Qual é a menor velocidade constante que o passageiro deve correr para pegar o trem?
Resolva o problema de duas maneiras:
a) Analiticamente;
Passo 1
E aí gente, tudo bom?
Nessa questão temos um passageiro bem atrasadinho que chega na estação depois que o trem passou por ela. O enunciado nos fala que o trem parte da plataforma em repouso com uma aceleração constante de .
Precisamos calcular a menor velocidade constante que o passageiro deve ter para alcançar o trem.
Para fazer isso, vamos utilizar as equações horárias da cinemática envolvendo os dois tipos de movimento realizados pelos corpos: MRUV e MRU.
No MRU temos as seguintes equações horárias:
Já para o MRU, temos:
Massa!
Agora que já demos essa revisada nas equações, vamos lá! Mãos à obra 😊
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação horária da posição do trem, que como possui aceleração constante, realiza um movimento do tipo MRUV. Ou seja:
O instante inicial que iremos considerar é quando o passageiro chega a estação. Assim, precisamos calcular tanto a velocidade que o trem possui nesse instante, como a posição que ele já alcançou. Pra calcular a velocidade, como no instante que o passageiro chega à plataforma fazem que o trem partiu, podemos usar que:
Já para calcular , vamos usar a mesma ideia, mas através da equação da posição no MRUV:
Perfeito! Logo, podemos escrever para a posição do trem, considerando como o instante em que o passageiro chega à plataforma:
Show de bola!
Já para a posição do passageiro, considerando que a plataforma corresponde à:
E, como ele possui velocidade constante, executa um MRU. Temos:
Tudo beleza até aqui?
Passo 3
Agora, como queremos que o passageiro alcance o trem, essas duas posições precisam se igualar para algum instante . Assim, vamos igualar as duas equações:
Um ponto muito importante é que queremos que a menor velocidade possível para o passageiro conseguir alcançar o trem. Matematicamente, essa condição se expressa na equação acima como tendo apenas uma solução real.
Pensa comigo, se nessa equação do grau tivermos duas soluções significa que o passageiro irá alcançar o trem em um instante , ultrapassa o trem e depois é alcançado novamente pelo trem em um instante .
Isso significa que ele tinha mais velocidade do que necessário quando alcançou o trem. A condição limite ocorre justamente quando ele apenas alcança o trem em um único instante , sacaram?
Assim, precisamos ter apenas uma raiz real na equação:
Ou seja, o discriminante precisa ser igual a zero:
Logo:
Como precisamos que seja maior do que a velocidade do trem no instante para que haja alguma chance do passageiro alcançá-lo, temos que:
Portanto:
Logo:
Essa é a menor velocidade constante que o passageiro precisa assumir pra conseguir alcançar o trem.
E aí, curtiram a solução? Até a próxima pessoal 😊