Fundamentos de Fisica - Vol. 3. Halliday - 9ª Edição, Capítulo 22 – seção 6 - Problema 31.
(Cap 22 Ex – 31) Na Fig. abaixo, uma barra não condutora de comprimento L = 8,15 cm tem uma carga - q = -4,23 fC uniformemente distribuída. (a) Qual é a densidade linear de cargas da barra? Determine (b) o módulo e (c) a direção (em relação ao semieixo x positivo) do campo elétrico produzido no ponto P, situado no eixo x, a uma distância a = 12,0 cm da extremidade da barra. Determine o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x, a uma distância a = 50 m do centro da barra, (d) pela barra e (e) por uma partícula de carga -q = -4,23 fC colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra.
Passo 1
Falaaaaaaaaa galerinha do Responde ai, tudo joinha?
Bora resolver essa juntinho comigo?
Simboráaa
Item (a)
Como a carga está uniformemente distribuída na barra, a densidade linear nada mais é do que a divisão da carga pelo tamanho total da barra :
Substituindo os valores e :
Passo 2
Item (b)
Vamos posicionar o eixo x na extremidade esquerda da barra e o sentido crescente para a direita conforme a figura abaixo:
Chamaremos de um segmento infinitesimal da barra como mostra a figura acima, então como a carga é uniformemente distribuída, podemos relacionar a densidade linear de carga com esse segmento fazendo:
E como a distância está no deixo , podemos escrever:
E assim, ficamos com...
Passo 3
Sendo que pode ser considerada uma carga pontual. O campo elétrico gerado por uma carga pontual é igual a:
Onde:
- é uma constante (
- é a carga da partícula que gera o campo elétrico e
- é a distância entre o ponto onde desejamos calcular o campo elétrico e a carga que o gera.
Como o ponto P encontra-se no eixo da barra, o vetor campo elétrico tem apenas componente x, que pode ser dada como, para cada ponto da barra:
Ou seja, cada pedacinho da barra gera uma componente ! Show, mas observe que a distância entre esse pedaço e o ponto P é dado pela diferença:
Entendeu tudo? Então para calcular o campo em toda a barra, devemos integrar em x:
Vamos passar tudo que não depende de para fora da integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples:
Resolvendo...
Passo 4
Aplicando os limites de integração...
Substituindo
- ,
- A permissividade do vácuo
Vamos fazer as multiplicações:
Fazendo as novas multiplicações:
Por fim nos resta:
E como vimos, o campo elétrico vai ser dado apenas por essa componente horizontal:
O que indica que o módulo do campo elétrico é .
Passo 5
Item (c)
Como nossa carga é negativa, as linhas de campo elétrico sempre irão apontar para ela, logo o sinal negativo no indica que o campo elétrico aponta no sentido negativo do eixo x, isto é, -180° do semieixo x positivo, ou seja, aponta para a barra!
Passo 6
Item (d)
Como a distância entre o ponto onde desejamos calcular o campo é muito mais distante do que o tamanho da barra:
Podemos usar a aproximação:
Assim a barra se comporta como uma carga pontual, como podemos ver no desenho, a distância é tão grande, que o tamanho da barra já não interfere
Ou seja, o campo se torna o campo de uma partícula pontual:
Onde vamos substituir a distância por apenas :
Vamos então substituir os valores que são dados:
Assim,
Passo 7
Item (e)
Note que a expressão que obtemos na aproximação do item anterior é o mesmo de uma partícula de carga -q = -4,23 fC situada a uma distância do ponto P, assim, o resultado é o mesmo do item anterior