UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 1.10a
Dois cilindros metálicos, concêntricos, infinitamente longos e de raios e atuam como placas de um capacitor cilíndrico. Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem densidade linear de carga e , respectivamente, calcule:
O módulo do campo elétrico a uma distância do centro, para e .
Passo 1
Faaala galera, como vocês estão?
Nessa questão temos um capacitor formado por cilindros metálicos, que possuem o mesmo eixo, mas um deles é interno ao outro. O menor possui raio e o maior possui raio . Juntos, eles atuam como um capacitor cilíndrico, onde a placa interna tem densidade linear de carga e o externo .
Queremos calcular o campo elétrico em três regiões distintas:
- Regi��o interna à placa esférica interna
- Região entre as placas
- Região depois das placas
Massa! A ideia principal pra calcular o campo nessas regiões é usarmos a lei de Gauss:
Vamo simbora!!
Passo 2
Bom, independente de termos , ou , ou ainda , iremos traçar uma superfície Gaussiana cilíndrico. Pela simetria (pois os cilindros são infinitamente longos) do capacitor cilíndrico devemos ter o campo elétrico dependendo apenas da distância ao eixo dos cilindros.
Assim, traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio e comprimento .
Temos que o campo elétrico em toda essa superfície deve ser o mesmo, e então podemos considerá-lo constante e colocá-lo para fora da integral da lei de Gauss:
A integral de todos os elementos de área nos dará a área total do cilindro. Além disso, o vetor área é paralelo ao campo elétrico na superfície lateral, mas nas tampas do cilindro esses vetores são perpendiculares.
Ou seja, nas tampas do cilindro gaussiano temos:
Assim, teremos:
onde é a área apenas da superfície lateral do cilindro.
Muito bom! Agora que chegamos nessa equação, vamos analisar as nossas possibilidades!
- Se estivermos na região :
Então, estamos na região interior à placa esférica interna. Como toda a carga foi pra superfície, a carga nessa região interna vale:
Logo, vamos ter que:
Excelente!
Passo 3
- Se estivermos agora na região entre as duas placas esféricas, ou seja, .
Então, a carga interna corresponde exatamente à carga na placa interna do nosso capacitor. Como falado no enunciado, na placa interna temos a densidade linear de cargas:
Assim, como o cilindro gaussiano tem comprimento , vale que:
Logo, substituindo na equação que havíamos encontrado anteriormente, vem:
Portanto:
- Se estivermos na região fora do capacitor :
Nessa região, a carga interna corresponde à soma das cargas na placa externa do capacitor e da placa interna. Assim:
Logo, temos:
Prontinho!! Assim finalizamos a nossa questão 😉
Obrigado pela atenção pessoal!!