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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo O x , uma no ponto x = a a outra no ponto x = - a . Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo O x .

Passo 1

Começar desenhando o problema é sempre uma boa:

Beleza. À partir do desenho, podemos perceber que temos três regiões críticas:

  1. x < - a
  2. - a < x < a
  3. x > a

Não podemos tentar calcular o campo “em cima” de uma das cargas pois a distância dela para si mesma seria zero, o que resultaria numa divisão por zero na fórmula do campo. Beleza? Vamos agora calcular para cada um dos casos.

Passo 2

A expressão para o campo de uma carga puntiforme é a seguinte:

E → = k q r 2 r ^

Onde r é a distância do ponto que queremos até a carga. Como as duas cargas são positivas vamos ter dois campos divergentes:

Mas a única linha de campo que nos interessa agora é a que está em cima do eixo x :

- Para - a < x < a :

A contribuição da carga em x = - a é positiva (aponta para o sentido positivo de O x ), já a da carga em x = a é negativa. A fórmula é:

E → = k q r 2 r ^

Perceba que um ponto x dentro deste intervalo

Aqui vamos ter os termos referentes à cada uma das cargas, ok? Sendo o termo da esquerda referente à carga da esquerda e o termo da direta a carga da direita. Então substituindo:

E x = k q a + x 2 - k q a - x 2

E x = k q 1 a + x 2 - 1 a - x 2

Desenvolvendo:

E x = k q a - x 2 a + x 2 a - x 2 - a + x 2 a - x 2 a + x 2

E x = k q a - x 2 - a + x 2 a + x 2 a - x 2

E x = k q a 2 - 2 a x + x 2 - ( a 2 + 2 a x + x 2 ) a + x 2 a - x 2  

Cancelando os termos da subtração:

E x = k q - 4 a x a + x 2 a - x 2

Aqui já temos uma resposta bem razoável, mas ainda dá pra simplificar um pouco esse denominador fazendo

a + x 2 a - x 2 = a + x a - x a + x a - x

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 a 2 - x 2

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 2

Aí o campo fica

E x = k q - 4 a x a 2 - x 2 2

Se quiser pode substituir o k = 1 4 π ϵ 0 :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Passo 3

- Para x > a , as duas cargas produzem um campo que aponta na direção positiva de x (para direita):

A carga da esquerda está a uma distância ( x + a ) do nosso ponto x enquanto que a carga da direita está a uma distância ( x - a ) , assim

E x = k q x + a 2 + k q x - a 2 = k q 1 x + a 2 + 1 x - a 2

E x = k q x - a 2 x + a 2 x - a 2 + x + a 2 x - a 2 x + a 2

Novamente aqui já temos uma resposta válida, mas é sempre bom simplificar o máximo possível para aquele professor chato né? =P

Lembrando que no denominador podemos escrever x + a 2 x - a 2 = x 2 - a 2 2 ! Expandindo os caras de cima

E x = k q x 2 + 2 x a + a 2 + x 2 - 2 x a + a 2 x 2 - a 2 2 = k q 2 x 2 + 2 a 2 x 2 - a 2 2

Substituindo o k , finalmente temos

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Passo 4

- Para x < - a , os campos produzidos pelas duas cargas apontarão para esquerda, ou seja, cada um deles será negativo.

Como x < 0 , a distância do nosso ponto x até a carga da esquerda é ( a + x ) (lembrando que x < 0 ) e da carga da direita é ( a - x ) , assim

E x = - k q a - x 2 - k q a + x 2 = - k q 1 a - x 2 + 1 a + x 2

Essa conta no parênteses grande é igualzinha à conta do passo anterior, então vamos ter como resultado

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

E fim de papo.

Resposta

Para - a < x < a :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Para x > a :

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Para x < a :

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

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