9. (D) Um fio semicircular fino, de raio R , encontra-se no plano z = 0 , com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas e contido nos primeiro e segundo quadrantes, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma densidade linear de carga elétrica constante e positiva λ

(a) Qual(is) componente(s) do vetor campo elétrico resultante em um ponto P = 0,0 , z qualquer do eixo Z é(são) nula(s)? Justifique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma linha de carga em forma de semicircunferência situada no plano z = 0 e em y ≥ 0 . Essa linha de carga possui um raio R da origem do sistema e uma densidade linear de carga λ positiva.

Dessa forma, queremos responder a seguinte pergunta: para qual componente vetorial i → , j → , k → o vetor campo elétrico é sempre nulo?

Tem ideia de como fazer isso? 😬

O vetor campo elétrico gerado a partir de uma carga é dado por

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r →

Ou seja, para uma componente ser nulo, o versor r → deve ser nulo em algum componente.

O valor de R da linha de carga é arbitrário, então para essa análise podemos atribuir um valor a ela e fazer a análise do vetor r → para dois casos: primeiro no plano z = 0 e depois quando z ≠ 0 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 2

No plano z = 0 , temos

Perceba que nesse caso, para cada pedaço infinitesimal d l da distribuição de carga há uma simetria no eixo y que faz com que tenha uma contribuição d E tanto em + x quanto - x que se opõe à componente x do vetor resultante.

Por exemplo, no nosso caso, temos uma contribuição do pedaço H que gera um vetor genérico d E H → = E H x i → - E H y j → e um outro pedaço G que gera uma contribuição d E G → = - E G x i → - E G y j →

Assim, como a distribuição de cargas é uniforme, então E G x = E H x , dessa forma somando o vetor resultante E → , as componentes em i → sempre se cancelam.

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Agora se fizermos o ponto P subir um pouco em z , onde z ≠ 0 .

Podemos afirmar que visto de cima, o vetor resultante não muda, então em x , E → continua nulo.

A partir de uma vista lateral, temos a seguinte visão

Assim, vemos que em z o vetor resultante não é nulo pois não há uma simetria que faça as componentes d E → se cancelarem

Logo, apenas no eixo x o campo elétrico é nulo.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Em x o vetor resultante é nulo.

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